蚁群算法：求解离散问题——原理

大家都看过蚂蚁的新闻，他们合作冲出火圈、他们的分工比蜜蜂还要明确、他们个个都是大力士。

但是，今天，我们将认识到，蚂蚁，还可以解优化问题！

原理

蚂蚁在觅食的时候，首先会漫无目的地寻找。此时的蚂蚁，可以说都是瞎子。但他们沿途会留下信息素，对，就是蚂蚁味。如果找到食物，它们就会返回，并同样留下信息素。

此后，蚂蚁前赴后继，顺着前人留下的信息素的强度，选择性地找到一条路来走。

由于那些不是最短的路，蚂蚁来回的时间比较长，所以信息素挥发得多。因此，如是过程一直持续下去，必然会出现一条路，上面的信息素的浓度远远大于其他路。

再往后，由于这条路的信息素浓度很高。几乎所有的蚂蚁，都会沿着这条路去搬运粮食。所以就造成了，我们小时候看到的，蚂蚁龙的现象。

而这条路，正是最短路径。

因此，能否将参数寻优问题对应到蚁群算法，找到最短路径的问题呢？

答案可能让大家失望了，比较难，或者说，不直观！

蚁群算法可以直观的用于求解，离散优化问题的经典——TSP 问题

什么是 TSP 问题，相信大家都知道了。

TSP 问题，可以很直观地对应到蚁群算法中。虽然没有“食物”这个东西。

转移概率原则

首先，假设有 m 只蚂蚁，由于 TSP 问题要求不能重复，因此对于每个蚂蚁，都维护一个禁忌表，table，表示蚂蚁下一次移动的目标，不能是 table 里面列举的城市。设城市节点构成一个集合，记为 C。城市 i 与 j 之间的距离为 $d_{ij}$ 。对于某一只蚂蚁 k，假设其当前时刻为 t，其位置为 i，则其移动到城市 j 的概率为：
$$p_{ij}^k(t)=\frac{{\tau }_{ij}^{\alpha }(t){\eta }_{ij}^{\beta }(t)}{{\sum }_N{\tau }_{ir}^{\alpha }(t){\eta }_{ir}^{\beta }(t)}N=C-tabl{e}^k(t)$$
其中 ${\tau }_{ij}(t)$ 是当前时刻，城市 i 和 j 留下的信息素。${\eta }_{ij}$ 为启发元素，一般有
$${\eta }_{ij}=1/d_{ij}$$
如果 $\alpha =0$，那么蚂蚁完全是靠着路程来选择路径，忽略了信息素的作用，同时加快了收敛，但增加了局部最优的风险（就好像贪心算法一样，但带有一点启发性/随机性）。如果 $\alpha$ 很大，蚂蚁会容易过分依赖 “前人的经验”，无法 “创新”，从而同样导致局部最优。

因此，当从这一点来看，就可以发现蚁群算法对算法的参数敏感！

局部调整原则

信息素在经过一段时间后，就会挥发。蚁群算法也是如此，信息素$\tau$的作用，也会随着时间的推进而减小。

在 TSP 问题中，时间比较难界定。我们可以设置，当蚂蚁（蚂蚁们同时出发，同时来到下一个城市）走过 n 个城市后，就启动挥发，减小当前的$\tau (t)$：
$${\tau }_{ij}(t+n)=(1-ϵ){\tau }_{ij}(t)+ϵ{\tau }_0$$
其中，$ϵ\in [0,1]$为挥发系数，${\tau }_0=1/(n{l}_{min})$，其中$l_{min}$为最小的 $d_{ij}$。

全局调整原则

蚁群算法和遗传算法一样，都是以种群为单位，而且都经过很多次迭代循环。

蚁群在其所经过的路径会留下信息素，但在算法中，蚁群的信息素不是及时留下的。而是在满一个迭代后，再来进行清算。清算的规则为：
$$\begin{array}{l}{\tau }_{ij}(T+1)=(1-\rho ){\tau }_{ij}(T)+\Delta {\tau }_{ij}(T)\\ \delta {\tau }_{ij}(T)={\sum }_{k=1}^m\Delta {\tau }_{ij}^k(T)\end{array}$$
其中：$\Delta {\tau }_{ij}^k(T)$是在循环 T 中，蚂蚁留下的信息素。

根据计算方式的不同，衍生出如下三种蚁群算法：

• AC：$$\Delta {\tau }_{ij}^k(T)=\{\begin{array}{c}Q/L_k若k经过ij，Q为常数，L_k为蚂蚁k走过的总距离\\ 0否则\end{array}$$
• AQ：$$\Delta {\tau }_{ij}^k(T)=\{\begin{array}{c}Q/d_{ij}若k经过ij\\ 0否则\end{array}$$
• AD：$$\Delta {\tau }_{ij}^k(T)=\{\begin{array}{c}Q若k经过ij\\ 0否则\end{array}$$

对于 AD、AQ，可以及时更新信息素，而不必到循环结束后再做清算。

流程

参考文献

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=27FAF83A33355430314226371D101358?doi=10.1.1.421.7129&rep=rep1&type=pdf

缺点

前期的搜索非常慢。要搜索到一定程度后，才会收敛。

算法的鲁棒性不高。也就是说，如果不加改变（大改），它很难用于其他问题，如连续型的优化问题。

优点

算法很健壮，他不是十分依赖与初始值。