整数划分 --- 一个老生长谈的问题 动态规划

原文链接:http://www.cnblogs.com/xiaoxian1369/archive/2011/09/12/2174212.html


1) 练练组合数学能力.
  2) 练练递归思想
  3) 练练DP
  总之是一道经典的不能再经典的题目:
  这道好题求:
  1. 将n划分成若干正整数之和的划分数。
  2. 将n划分成k个正整数之和的划分数。
  3. 将n划分成最大数不超过k的划分数。
  4. 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
  5. 将n划分成若干不同整数之和的划分数。

 

1.将n划分成不大于m的划分法: 

   1).若是划分多个整数可以存在相同的:

    dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m]  dp[n][m]表示整数 n 的划分中,每个数不大于 m 的划分数。
       则划分数可以分为两种情况:
       a.划分中每个数都小于 m,相当于每个数不大于 m- 1, 故划分数为 dp[n][m-1].
       b.划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分, 故划分数为 dp[n-m][m];

  2).若是划分多个不同的整数:

  dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1]   dp[n][m]表示整数 n 的划分中,每个数不大于 m 的划分数。
      同样划分情况分为两种情况:
      a.划分中每个数都小于m,相当于每个数不大于 m-1,划分数为 dp[n][m-1].
      b.划分中有一个数为 m.在n中减去m,剩下相当对n-m进行划分,

   并且每一个数不大于m-1,故划分数为 dp[n-m][m-1]

  2.将n划分成k个数的划分法:

 dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];

     方法可以分为两类:
       第一类: n 份中不包含 1 的分法,为保证每份都 >= 2,可以先拿出 k 个 1 分
     到每一份,然后再把剩下的 n- k 分成 k 份即可,分法有: dp[n-k][k]
       第二类: n 份中至少有一份为 1 的分法,可以先那出一个 1 作为单独的1份,剩
     下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可,分法有:dp[n-1][k-1]

  

  3.将n划分成若干奇数的划分法:(不懂)

    g[i][j]:将i划分为j个偶数

    f[i][j]:将i划分为j个奇数
     g[i][j] = f[i - j][j];
     f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];

 

    路过的大牛求解释,谢谢~

  代码如下所示:

/*
 * hit1402.c
 *
 *  Created on: 2011-10-11
 *      Author: bjfuwangzhu
 */

#include
#include
#define nmax 51
int num[nmax][nmax]; //将i划分为不大于j的个数
int num1[nmax][nmax]; //将i划分为不大于j的不同的数
int num2[nmax][nmax]; //将i划分为j个数
int f[nmax][nmax]; //将i划分为j个奇数
int g[nmax][nmax]; //将i划分为j个偶数
void init() {
    int i, j;
    for (i = 0; i < nmax; i++) {
        num[i][0] = 0, num[0][i] = 0, num1[i][0] = 0, num1[0][i] = 0, num2[i][0] =
                0, num2[0][i] = 0;
    }
    for (i = 1; i < nmax; i++) {
        for (j = 1; j < nmax; j++) {
            if (i < j) {
                num[i][j] = num[i][i];
                num1[i][j] = num1[i][i];
                num2[i][j] = 0;
            } else if (i == j) {
                num[i][j] = num[i][j - 1] + 1;
                num1[i][j] = num1[i][j - 1] + 1;
                num2[i][j] = 1;

            } else {
                num[i][j] = num[i][j - 1] + num[i - j][j];
                num1[i][j] = num1[i][j - 1] + num1[i - j][j - 1];
                num2[i][j] = num2[i - 1][j - 1] + num2[i - j][j];
            }
        }
    }
    f[0][0] = 1, g[0][0] = 1;
    for (i = 1; i < nmax; i++) {
        for (j = 1; j <= i; j++) {
            g[i][j] = f[i - j][j];
            f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];
        }
    }
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
    int n, k, i, res0, res1, res2, res3, res4;
    init();
    while (~scanf("%d %d", &n, &k)) {
        res0 = num[n][n];
        res1 = num2[n][k];
        res2 = num[n][k];
        for (i = 0, res3 = 0; i <= n; i++) {
            res3 += f[n][i];
        }
        res4 = num1[n][n];
        printf("%d\n%d\n%d\n%d\n%d\n\n", res0, res1, res2, res3, res4);
    }
    return 0;
}

将正整数划分成连续的正整数之和
如15可以划分成4种连续整数相加的形式:
15
7 8
4 5 6
1 2 3 4 5

    首先考虑一般的形式,设n为被划分的正整数,x为划分后最小的整数,如果n有一种划分,那么
结果就是x,如果有两种划分,就是x和x x + 1, 如果有m种划分,就是 x 、x x + 1 、 x x + 1 x + 2 、... 、x x + 1 x + 2 ... x + m - 1
将每一个结果相加得到一个公式(i * x + i * (i - 1) / 2) = n,i为当前划分后相加的正整数个数。
满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况。
如上例,当i = 1时,即划分成一个正整数时,x = 15, 当i = 2时, x = 7。
当x = 3时,x = 4, 当x = 4时,4/9,不是正整数,因此,15不可能划分成4个正整数相加。
当x = 5时,x = 1。

    这里还有一个问题,这个i的最大值是多少?不过有一点可以肯定,它一定比n小。我们可以做一个假设,
假设n可以拆成最小值为1的划分,如上例中的1 2 3 4 5。这是n的最大数目的划分。如果不满足这个假设,
那么 i 一定比这个划分中的正整数个数小。因此可以得到这样一个公式i * (i + 1) / 2 <= n,即当i满足
这个公式时n才可能被划分。

代码如下:

void split(int n) {
    int i, j, te, x, xlen;
    for (i = 1, xlen = 0; (te = i * (i - 1) / 2) < n; i++) {
        x = n - te;
        if (x % i == 0) {
            x /= i;
            printf("%d", x);
            for (j = 1; j < i; j++) {
                printf("%d ", x + j);
            }
            printf("\n");
            xlen++;
        }
    }
    printf("%d\n", xlen);
}


下面给出的链接是笔者自己给出的,讲的是整数划分的另一种方法——母函数法,博客中给的题目链接中就有整数划分,也是一道比较模板化的题目,而且这篇对母函数的讲解博客也写得很好,值得大家学习。

链接:http://www.wutianqi.com/?p=596

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