2017-2018 ACM-ICPC, Central Europe Regional Contest (CERC 17) G - Gambling Guide（期望dp）

题目链接：http://codeforces.com/gym/101620/attachments

题目大意：给出一个包含 n 个点 m 条边的无向图。一个人一开始在编号为1的结点，现在他想前往编号为 n 的结点。在前往结点n 的过程中，他会以以下的方式选择走的点，当他在结点 x 的时候，他会花费一枚硬币等概率地选择出一个与 x 相邻的点，如果他选择的点到达结点n所花费的金币个数的期望不是最小的，他就会选择重新花费一枚硬币继续选择他将前往的点。现在要你求出他从结点1走到结点n的过程中所花费的硬币的期望是多少。

题目思路：如果我们考虑直接从结点1开始去求到达结点n的期望的话，是无法求解出来的，因为对于每一步的情况都是有无限种的。所以我们可以考虑倒着做，从结点n往结点1倒推。

现在设 dp[x] 表示从结点 x 前往结点 n 所花费的硬币数的期望，那么很容易知道dp[n] = 0的。

接下来，对于结点 x 来说，由于他每次只会选择期望最小的点走。

所以可以得到状态转移方程为：，v表示与x相邻的点，cnt[x]表示所有可能的情况数。

这样我们可以借助优先队列来维护上面的min(dp[x],dp[v])，往优先队列中放入不同点的dp值，每次从优先队列中取出dp值最小的点，更新周围的点，类似于最短路的dijstra算法的松弛过程。

具体实现看代码：

#include 
#define fi first
#define se second
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define pb push_back
#define MP make_pair
#define lowbit(x) x&-x
#define clr(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define _INF(a) memset(a,0x3f,sizeof(a))
#define FIN freopen("in.txt","r",stdin)
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define fuck(x) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<pii;
typedef pairP;
const int MX = 3e5 + 7;

int n, m;
vectorG[MX];
double dp[MX], sum[MX];
int cnt[MX];
bool vis[MX];

void solve() {
    priority_queue, greater
 >q;
    q.push(MP(0, n));
    while (!q.empty()) {
        int u = q.top().se; q.pop();
        if (vis[u]) continue;
        vis[u] = 1;
        for (auto v : G[u]) {
            if (vis[v]) continue;
            cnt[v]++; sum[v] += dp[u];
            dp[v] = sum[v] / cnt[v];
            q.push(MP(dp[v], v));
        }
    }
}

int main() {
    // FIN;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        G[u].pb(v); G[v].pb(u);
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) sum[i] = G[i].size();
    dp[n] = 0;
    solve();
    printf("%.7f\n", dp[1]);
    return 0;
}