匹配算法·温故知新——「一般图的最大（基数）匹配」

启发

上文介绍了二分图的最大匹配，自然而然地想到，这个算法能否推广到一般图？

在一般图中，找到一个matching，使得它包含的边数最多。

我们发现上文算法中的基本概念augmenting path并非依赖于二分图的性质，这是一个好消息。
那么二分图特殊在哪儿呢？

G为二分图的充要条件是|G|>2且图中没有奇长度的环。

那么这个性质有什么影响呢？能否在原算法的基础上通过修改解决这个问题呢？如果不能，又要退回到更基本的概念和想法上。
这便是算法延展的一般思路。

症结

我们“照葫芦画瓢”，继续使用ST标号的方法，只不过这次没有boy和girl的说法了。得到如下标号规则：
1. 如果x∈S, y is free，∃(x,y)∈E,(x,y)∉matching，那么给 y标上T。
2. 如果 y∈T, x is free,∃(x,y)∈E,(x,y)∈matching，那么给 x标上S。
好像没什么不妥，顺着这个思路继续模仿：

1. 清空标记，将所有单身的点标成S，并从他们开始搜索。
2. 搜索x时，遍历相邻的点y，根据上面的规则给y标号，继续搜索y。
3. 若搜索到单身的点，则证明从起始点到搜到的单身点有一条augmenting path，增广并进入下一个阶段。
4. 若3不能满足，则证明已经得到最大匹配，退出。

等等，哪里不对。怎么会这么简单？
当然不可能这么简单。原因在2中按照上述规则给y标号时，存在标号冲突。
情况1：先被标成T，后被标成S。
这种情况只会在一对配偶都被标成T，之后其中一个点开始扩展的时候发生冲突。考虑到标成T的点在扩展的时候，根据规则2，只能去标它的配偶点且标成S，我们可以在实现的时候，每标到一个T，立刻标记它的配偶点为S，从而消除这种冲突。
情况2：先被标成S，后被标成T。
首先如果两边来自不同单身点的搜索，则找到一条增广路，但来自同一个单身点怎么办？想一下匈牙利算法的实现，我们每次只扩展一个单身点，这种方法下，一旦出现冲突，一定是来自同一个单身点的扩展。
这种情况不能避免，处理方法是这个算法的核心所在——缩点。
我们来看论文中的一幅图。

在这幅图中，i在搜到相邻的j点时，j已经标为S，但此时根据规则，若j空闲应该标T。
我们仔细观察后发现，找到搜索树的最近公共祖先后，整个结构形成一个奇环，成为带花树的花苞(blossom)。保证奇环内匹配数最多的情况下，只能有一个点向外匹配，且无论它最初被标成S或T。这个性质像极了一个S点！
所以我们将图中圆圈内的这个奇环缩点，继续操作就可以了。注意每个stage要重新拆开哦！

实现

这个算法说起来很容易，但是实现起来比较困难，特别是缩点之后在找augmenting path时还有拆开，而且可能多重缩点。
但暴力地写法还是很容易的，搜索顺序用DFS比较好，不用求搜索树的LCA，老老实实创建新点，把环中的边都加进去云云。时间复杂度O(n4)。
考虑上述瓶颈，主要在每次缩点都要枚举一遍边，以及判断两个点是否在同一个blossom中。前者可以用链表存边解决，后者可以用并查集解决。但是层层剥离blossom求augmenting path的实现难度依然很大。我建议另建一棵树维护blossom的内外结构。时间复杂度O(n(m+n))。
另一种论文上提到的方法是使用BFS的顺序，blossom不真正缩点，而是用一种巧妙的双向链表把边连起来，再把blossom中所有点加入搜索队列。时间复杂度O(n3)。//貌似网上大多采用这种实现，而且还是本学期图论助教最先实现的。