计算几何（证明三角形内心公式: aOA+bOB+cOC = 0）

公式说明

其中大写如果没加绝对值符号均为向量。
　　　求三角形内心时会用到公式:aOA+bOB+cOC = 0 其中各点如图所示

证明过程

充分性证明
　　　已知aOA+bOB+cOC = 0，证明Ｏ点为内接圆圆心。首先我们知道内接圆圆心为三个角的角平分线交点，只要证明Ｏ是三条角平分线交点就行了。
　　　假设过A和Ｏ的直线交BC于Ｄ。如图
　　　
　　　由图可知向量OB = OD+DB, 向量OC = OD+DC。带入已知的式子后的到aOA+b(OD+DB)+c(OD+DC) = 0。
　　　已知向量OD与OA共线，假设向量ＯＡ = kOD，上面的式子化为了，(a+bk+ck)OA+bDB+cDC = 0。
　　　根据图片已知向量DB与DC共线，并且向量OA＋（DB+DC）的和向量一定不得０，且OA不等于０向量，所以得出(a+bk+ck)=0且bDB+cDC=0。
　　　又由于DB与DC共线，所以上面的出的结论可以直接写为,|DB|/|DC| = c/b　　这正好符合角分线定理，所以AD为角Ａ的一条角分线，同理可证明另外两条为另外两个角的角平分线，因此点O为内接圆圆心。

充分性证明：
　　　
　　　
　　　现在我们已知O为三角形内心，并且三条线均为角平分线，我们需要证明公式aOA+bOB+cOC = 0。
　　　根据角平分线定理我们知道b/a = |AF|/|FB|　和　c/a = |AE|/|EC|
　　　又根据图容易得到，向量OA = OM+ON 进而得到　OA = (|OM|/|CO|)*CO+(|ON|/|BO|)*DO。又易得|OM|/|CO| = |AE|/|EC|, |ON|/|BO| = |AF|/|FB|，带入后得到　OA = b/a CO + c/a BO，整理后就得到了已知的式子。

补充

可能有人不懂上面为什么|OM|/|CO| = |AE|/|FC|，这里讲一下
　　　上面的图取出来后就是如下图
　　　

在O点做ＯＱ交MA于Ｑ且平行于CA

这样就容易看出来三角形COE和三角形OMQ相似，所以就能得到|OM|/|CO| = |AE|/|EC|