Hopcroft-karp 算法

Hopcroft-Karp算法

该算法由John.E.Hopcroft和Richard M.Karp于1973提出，故称Hopcroft-Karp算法。时间复杂度O（n^0.5*m）

思路：

用bfs来找出多条不相交的最短增广路，形成极大增广路集，然后可以用匈牙利多路增广。

bfs要找最短的增广路，是因为增广路的长度能增加，他的匹配数也能增加，所以最短保证答案的准确。
每一阶段找出来的最短增广路都是相等的长度，后面越来越长。
也就是说，每次找出可以达到同样长度的多条增广路。

其实多路增广的思路与最大流的dinic是一样的

过程：

将点二分图的点分成两个点集x，y
首先从所有x的未匹配的点进行bfs，维护x，y距离标号dx，dy，如果y点是未匹配的点那么就找到
一条最短增广路，记录当前长度，大于该长度的结束bfs，bfs完之后得到最短增广路集，用匈牙利算法，

对所有允许弧（dy[v]==dx[u]+1）进行增广。

模板：

/**dx[i]表示左集合i顶点的距离编号，dy[i]表示右集合i顶点的距离编号**/
/**mx[i]表示左集合顶点所匹配的右集合顶点序号，my[i]表示右集合i顶点匹配到的左集合顶点序号。**/

struct edge {
    int v,next;
}e[Mm];
int tot,head[Mn];
void addedge(int u,int v) {
    e[tot].v=v;
    e[tot].next=head[u];
    head[u]=tot++;
}
int mx[Mn],my[Mn],vis[Mn];
int dis;
int dx[Mn],dy[Mn];
int n,m;
bool searchp() {
    queueq;
    dis=INF;
    CLR(dx,-1);
    CLR(dy,-1);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(mx[i]==-1) {
            q.push(i);
            dx[i]=0;
        }
    }
    while(!q.empty()) {
        int u=q.front();
        q.pop();
        if(dx[u]>dis) break;
        for(int i=head[u];~i;i=e[i].next) {
            int v=e[i].v;
            if(dy[v]==-1) {
                dy[v]=dx[u]+1;
                if(my[v]==-1) dis=dy[v];
                else {
                    dx[my[v]]=dy[v]+1;
                    q.push(my[v]);
                }
            }
        }
    }
    return dis!=INF;
}
bool dfs(int u) {
    for(int i=head[u];~i;i=e[i].next) {
        int v=e[i].v;
        if(vis[v]||(dy[v]!=dx[u]+1)) continue;
        vis[v]=1;
        if(my[v]!=-1&&dy[v]==dis) continue;
        if(my[v]==-1||dfs(my[v])) {
            my[v]=u;
            mx[u]=v;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
int maxMatch() {
    int res = 0;
    CLR(mx,-1);
    CLR(my,-1);
    while(searchp()) {
        CLR(vis,0);
        for(int i=1;i<=n; i++)
            if(mx[i] == -1 && dfs(i))
                res++;
    }
    return res;
}
void init() {
    tot=0;
    CLR(head,-1);
}