[MIT算法导论]笔记

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算法时间复杂度

主方法

case 1:
f(n)=O(n^(log(b)a-ε)) （ε>0）
=>T(n)=Θ(n^log(b)a)

case 2:
f(n)=Θ (n^log(b)a·(lgn)^k)（k>=0）
=>T(n)=Θ(n^log(b)a·(lgn)^(k+1))

case 3
f(n)=Ω(n^(log(b)a+ε))（ε>0）&& 存在0<ε‘<1，使得af(n/b)<=(1-ε’)·f(n)
=>T(n)=Θ(f(n))

case 1可用递归树证明：

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分治法

归并排序

排序步骤：

• n为1时，已经完成排序。

• n大于1时，递归的对A[1~┏n/2┓]这部分以及A[┏n/2┓+1~n]这部分排序。
  (┏ ┓表示向上取整）

• 将排序好的两个表合并，比较两个表，依次取出最小者到输出序列中。

• 运行时间：
  递归函数为T(n)=2T(n/2)+Θ(n)。(递归时间+非递归时间)
  使用主方法，为case2 ，所以T(n)= Θ(nlgn)。

乘方问题

和二分查找实质一样，将指数n二分：

有实数X和正整数n计算X^n。
当n为偶数时，X^n=X^(n/2)·X^(n/2)，当n为奇数时，X^n=X^((n-1)/2)·X^((n-1)/2)·X。

• 运行时间：
  递归函数为T(n)=T(n/2)+Θ(1)。
  使用递归树法T(n)= Θ(lgn)。

斐波那契数列

1. Fn=φ^n/5(1/2)结果取最接近的整数（round）。（φ是黄金分割数）
   该方法无法用计算机实现（精确度不够的原因）。
   运行时间：Θ(lgn)。

2. 平方递归式：

(F(n+1)  Fn)  = (1 1)n
(Fn  F(n-1))    (1 0)

运行时间：Θ(lgn)

证明方法可采用归纳法:

1. (F2 F1) = (1 1)1
   (F1 F0) (1 0)
2. (F(n+1) Fn) = (Fn F(n-1)) (1 1)
   (Fn F(n-1)) (F(n-1) F(n-2)) (1 0)
   由定义可知上式成立。

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参考：
主定理 Master-Theorem
MIT算法导论公开课之课程笔记