阵处理与波束形成学习心得（二）

第二节：传感器阵列：空间采样

此部分的原理描述采用引用一段原文

In general, we can think of a sensor array as a mechanism for spatially sampling wavefronts propagating at a certain operating (carrier) frequency. Since in most instances the user either controls or has knowledge of the operating frequency, the sensor array provides a reliable means of interrogating the incoming wavefront for information. Similar to temporal sampling, the sensor array provides discrete (spatially sampled) data that can be used without loss of information, provided certain conditions are met. Namely, the sampling frequency must be high enough so as not to create spatial ambiguities or, in other words, to avoid spatial aliasing. The advantages of discrete-time processing and digital filtering have been well documented (Oppenheim and Schafer 1989; Proakis and Manolakis 1996). In the case of the spatial processing of signals, spatial sampling using an array provides the capability to change the characteristics of a discrete spatial filter, which is not possible for a continuous spatial aperture.

我们可以用传感器阵列来实现空间采样，通常，我们往往能够知道或者控制载波的频率。与时间采样定理类似，只要当我们的采样频率达到某个临界条件的时候，我们的采样后的信号就可以无失真的恢复出原信号，在这里表述为采样信号可以包含空间中传播的平面波的全部信息。但是，只有当采样频率足够高，才不会引起空间模糊，即存在信息的丢失。在电子信息技术盛行的今天，离散信号的处理速度与数字滤波的优点已经得到了充分体现。
从远场传播来的平面波到达ULA的示意图如下所示：

此处我们直接给出空间采样定理，而不对其进行推导。其详细的推导过程可参考Statistical and Adaptive Signal Processing_Page_629
对于一个任意的阵列在多维空间中沿着不均匀的网格进行采样，没有规律可循，故很难拿来与时间采样定理进行对比学习。为了方便理解，我们在此处仅考虑ULA，且其相邻阵元的距离为d。
对于ULA而言我们可以定义空间采样频率Us

在这里，空间采样频率由阵元间隔决定。由于对ULA而言，窄带信号的测量相当于是相位沿着传感器向前移动，具体的移动情况与信号到达的角度有关。对于一般的信号而言，均匀采样的相位移动可以通过高斯公式化为频率的产物。同一信号相邻阵元的采样的 差别仅为一个exp（j×-2×pi×F），此处的F为信号的频率。故在空间信号的传播中，此频率可以用如下公式来表示：

它也可以当做空间频率，但是为了方便计算与表述，课本中还定义了归一化的空间频率：

在得到了归一化的空间频率以后，我们直接给出空间采样定理：与离散时间采样的Shanon定理类似，为避免重叠而对空间采样频率有一定的要求，此要求是相对于归一化频率而言的：

在第一节介绍过，阵列的加权矢量的阵列最重要的特征，它决定了阵列是通过何种方式来对信号进行处理的。在定义了归一化频率以后，阵列的响应矢量可改写成
式中的phi从-90变化到90度，再令其与加权矢量做乘积即可得到普通的波束形成模型。
而当阵列在phi=phi_s处的阵列响应矢量等于阵列的加权矢量c的时候，此时的空间阵列模型我们称为空间匹配滤波器。因为阵列的加权矢量与从角度phi_s到来的信号相匹配。
波束形成的示意图如下所示：

这是作为一种简单，也是最常见的波束形成模型加权，此处采用的是均匀加权，加权幅值为阵元数目M的函数。波束形成的输出可以用如下公式表示：

在上面公式中是否采用矩阵的共轭转置来参与乘法主要为了满足矩阵乘法的维度，与自己在代码中的阵列响应矢量的形成有关。
下面我们通过一个例子来观察波束形成。
条件：阵元数目为M=16，归一化频率取0.5，阵列被定向到phi_s=0的响应。

code:
clc
clear
M=16;
spacing=0.5;
phi_s=0;
phi=-90:0.2:90;
c_bf=exp(-1i2pispacing[0:M-1]'sin(phi_spi/180))/sqrt(M);
v=exp(-1i2pispacing[0:M-1]'sin(phipi/180))/sqrt(M);
y=c_bf’v;
figure
plot(phi,20log10(abs(y)),‘r’,‘linewidth’,2.5);
axis([-90 90,-50 5]);
xlabel(‘Angle (deg)’,‘fontweight’,‘bold’,‘fontsize’,20);
ylabel(‘power response(dB)’) ;
grid on;
hold on

运行结果：

简要分析该波束模式：大的主瓣位于角度为0的位置，且幅值为0，证明波束模式对于从角度0到达的信号不会产生衰减，但我们应该注意到，这个主瓣的宽度是有限的，一旦到达角的误差超出了主瓣范围，进入旁瓣范围的话，其信号幅度会出现不同程度的衰减。