《编程之美》读书笔记1——求二进制数中1的个数

前言：又到了一周一次的写博客环节了，嗯···没什么存货了，上一周没有看多少关于数据结构的内容，也没记什么笔记；我挣扎了一下，想停更一周，但是好不容易坚持了9周，一定要坚持到今年考研结束，甚至坚持到以后。我决定借鉴一下上次凑单买的《编程之美》的一个关于位运算的案列，“水”一期博客。

一、问题提出

• 对于一个字节（8bit)的无符号整型变量，求其二进制表示中"1"的个数
• 相关概念补充：1字节包含8位，C语言用字节（byte）表示存储系统字符集所需的大小（注意：计算机界通常用默认一字节是8位的）。如下图所示，从左往右给这八位分别编号7~0。在1字节中，编号为7的位被称为高阶位，编号是0的位被称为低阶位；每一位对应的编号对应2相应的指数。

• 这里，128是2的7次幂，以此类推；该字节能表示的最大数字都设置为1：11111111.则这个二进制数的值为：
• 128 + 64 + 32+ 16 + 8 + 4+ 2 +1 = 256
• 而该字节最小的二进制数是00000000，其值是0；因此，一字节可以存储0~255范围内的数字，共256个。

二、分析与解法
1、解法一；O(log2v)

• 对于二进制操作，每除一个2，原来的数字将会减少一个0，如果除的过程有余，就表示当前位置有一个1；
• 以10100010为例：
• 第一次除2，商为1010001，余0；
• 第二次除2，商101000，于1.
• 因此，可以根据上述特点，让一个二进制数依次除以2，判断余数是否为1来计数1的个数。

int count(byte v)
{
     
	int num = 0;
	while(v)
	{
     
		if(v%2 ==1)
		{
     
			num++;
		}
		v = v/2;
	}
	return num;
}

2、解法二;O(log2v)

• 使用向右移的位操作同样可以达到相除的效果，这里的问题是如何判断是否有1处在？
• 解决方法，用该八位数与00000001相”与"，如果结果为1，则表示当前的八位数最后一位是1，否则为0.

int count(byte v)
{
     
	int num = 0;
	while(v)
	{
     
		num + = v & 0x01;
		v >>= 1;    //v每位数字向右移动1
	}
	return num;
}

3、解法三；O(M)M为1的个数

• 前面两个解法，都需要经过8次相除或者移位来累计1的个数，能不能只考虑1所在的位置，跳过0的位置，来直接累计呢？
• 假设只有一个1：01000000；
• 判断操作为：01000000&（01000000 - 00000001） =01000000&00111111 =0；
• 即通过v直接减1跳过0所在的位

int count(byte v)
{
     
	int num = 0;
	while(v)
	{
     
		v &= (v-1);
		num++;
	}
	return num;
}

4、解法4;O（1）
以空间换时间,直接将八位二进制数所有的可能情况预先算出写入表中，遇到时直接查询即可，适用于频繁使用的算法中；

/* 预定义结果表 */
int countTable[256] =
{
     
	0,1,2...//懒得打字了
	...
	...
};
int count(byte v)
{
     
//查表
return countTable[v];
}

解法1和2很多人都想得到，而3、4可能有少数老哥能想到，这也许是灵机一动的头脑风暴，但是大多数因该是见多识广的经验使然。
结束——