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希尔伯特变换的过程

希尔伯特变换的原始定义

时域积分形式

v\left ( x \right )= -\frac{1}{\pi}\int_{\infty}^{-\infty}\frac{u(\tau ))}{\tau -t}{\mathrm{d} \tau }

u\left ( x \right )= \frac{1}{\pi}\int_{\infty}^{-\infty}\frac{v(\tau ))}{\tau -t}{\mathrm{d} \tau }

卷积形式

v(t)=u(t)*\frac{1}{\pi t}

u(t)=-v(t)*\frac{1}{\pi t}

在频域上的变化

与-jsgn(f)相乘，即正半部分相移-90^{\circ}

负半部分相移90^{\circ}

我们可以通过这张图直观的理解(图源自网络)

希尔伯特变换是怎么把双边谱变成单边谱的

解析信号：

z(t)=f(t)+j\hat{f}(t)

Z(\omega )=F(\omega)+j\hat{F}(\omega)

由上图可知第一张加上第二张旋转90^{\circ}后，正部分频谱变成原来的2倍，负部分频谱变成了0，达到了将双边谱转换为单边谱的目的

如果要保留负半轴上的频谱，解析信号的加改为减即可

相移法形成单边带信号

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