概率论之多元随机变量及其分布
1.多元随机变量
在实际问题中，有一些实验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。
设n元随机变量 X ( ω ) = ( X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) , . . . , X n ( ω ) ) ， 简 记 为 X = ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) X(\omega)=(X_1(\omega),X_2(\omega),...,X_n(\omega))，简记为X=(X_1,X_2,...,X_n) X(ω)=(X1(ω),X2(ω),...,Xn(ω))，简记为X=(X1,X2,...,Xn)
定义：
随机变量 X = ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) X=(X_1,X_2,...,X_n) X=(X1,X2,...,Xn)的（联合）分布函数为 F ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = P ( X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 , . . . , X n ≤ x n ) F(x_1,x_2,...,x_n)=P(X_1\le{x_1},X_2\le{x_2},...,X_n\le{x_n}) F(x1,x2,...,xn)=P(X1≤x1,X2≤x2,...,Xn≤xn)
以二元随机变量为例，其性质如下：
1. 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0\le{F(x,y)}\le1 0≤F(x,y)≤1
2. F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)是变量 x , y x,y x,y的不减函数，
3. F ( − ∞ , − ∞ ) = F ( − ∞ , y ) = F ( x , − ∞ ) = 0 , 但 F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(-\infty,-\infty)=F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=0, 但F(+\infty,+\infty)= 1 F(−∞,−∞)=F(−∞,y)=F(x,−∞)=0,但F(+∞,+∞)=1
2.二元离散型随机变量的分布
3.二元连续性随机变量的分布
设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)是二元随机变量，其分布函数为 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)，若存在一个非负函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)，使得对于任意实数 x , y x,y x,y都有：
F ( x , y ) = P ( X ≤ x , Y ≤ y = ∫ ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x,y)=P(X\le{x}, Y\le{y}=\int_{\infty}^x\int_{-\infty}^yf(u,v)dudv F(x,y)=P(X≤x,Y≤y=∫∞x∫−∞yf(u,v)dudv，则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)是二元连续型随机变量，函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)称为二元连续型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的联合概率密度，或简称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的密度，二元密度 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)具有以下性质：
1. f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y)\ge0 f(x,y)≥0
2. ∫ ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 \int_{\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1 ∫∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1
3. ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = ∂ 2 F ( x , y ) ∂ y ∂ x = f ( x , y ) \frac{\partial^2{F(x,y)}}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial^2{F(x,y)}}{\partial{y}\partial{x}}=f(x,y) ∂x∂y∂2F(x,y)=∂y∂x∂2F(x,y)=f(x,y)
设 f ( x , y ) 是 ( X , Y ) f(x,y)是(X,Y) f(x,y)是(X,Y)的联合密度函数，则称
f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y , f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy, f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy,fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx
分别是 ( X , Y ) 关 于 X , Y (X,Y)关于X,Y (X,Y)关于X,Y的边缘密度函数。