比较详细的讲01背包问题（值得看）

面试笔试经常碰到01背包问题，头疼。这里来详细讲解下；

01背包问题：一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个物品体积为weight[i]，价值为value[i]，现在往背包里面装东西，怎么实现物品价值最大?

看到这个问题，可能会想到贪心算法；但是贪心算法其实是不对，例如最少硬币找零问题，要用动态规划。动态规划思想就是解决子问题并记录子问题的解，这样就不用重复解决子问题了。

动态规划先找出子问题，我们可以这样考虑：在物品比较少，背包容量比较小的时候怎么解决；用一个数组f[i][j]表示在额放进只有i个物品，容量为j的情况下背包问题的最优解，那么当物品种类变大为i+1时，最优解是什么？第i+1物品可以选择放进背包或者不放进背包(这就是0和1)；假设放进背包（前提是放的下），那么f[i+i][j]=f[i][j-weight[i+1]]+value[i+1];

如果不放进背包，那么f[i+1][j]=f[i][j]

这就得出了状态转移方程；

f[i+1][j]=max(f[i][j], f[i][j-weight[i]]+value[i+1]);

代码实现：

#include  
using namespace std;  
#define  V 1500  
unsigned int f[10][V];//全局变量，自动初始化为0  
unsigned int weight[10];  
unsigned int value[10];  
#define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)  
int main()  
{  
      
    int N,M;  
    cin>>N;//物品个数  
    cin>>M;//背包容量  
    for (int i=1;i<=N; i++)  
    {  
        cin>>weight[i]>>value[i];  
    }  
    for (int i=1; i<=N; i++)  
        for (int j=1; j<=M; j++)  
        {  
            if (weight[i]<=j)  
            {  
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);  
            }  
            else  
                f[i][j]=f[i-1][j];  
        }  
      
    cout<

可以进一步优化内存的使用，上面计算f[i][j]可以看出，在计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0....i]没有使用其他子问题，因此存储子问题的解时，只存储[i-1]子问题的解即可，这样可以用两个一维数组解决，一个存储子问题，一个存储子问题正在解决的子问题

在进一步思考，计算f[i][j]只使用了f[i-1][0....j]，没有使用f[i-1][j+1]这样的话，我们先计算j的循环时，让j=M.....1,只使用一个一维数组即可。

for i=1...N

for j=m....1

f[j]=max(f[j], f[j-weight[i]+value[i]]);

#include  
using namespace std;
#define  V 1500  
unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0  
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)  
int main()
{

	int N, M;
	cin >> N;//物品个数  
	cin >> M;//背包容量  
	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		cin >> weight[i] >> value[i];
	}
	for (int i = 1; i <= N; i++)
		for (int j = M; j >= 1; j--)
		{
			if (weight[i] <= j)
			{
				f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
			}
		}

	cout << f[M] << endl;//输出最优解  

}

在看完01背包问题，再来看完全背包问题;一个背包总容量为v，现在有N个物品，第i个物品体积为weight[i],价值为value[i]，每个物品都有无限多件，现在往背包里装东西，怎么装能使背包内的物品价值最大；

对比一下，看到的去呗是，完全背包问题中，物品有无限多件，往背包里添加物品时，只要当前背包没装满，可以一直添加，那么状态转移方程为：

f[i+1][j]=max(f[i][j-k*weight[i+1]]+value[i+1]*k),其中0<=k=V/weight[i+1];

使用内存为一维数组的伪代码：

for i=1....N

for j=1....M

f[j]=max(f[j], f[j-weight[i]+value[i]])

和01背包问题唯一不同的是j是从1到M,01背包问题是在前一个子问题（i-1种物品）的基础上来解决当前问题的，向i-1种物品时背包添加第i种物品；而完全背包问题是在解决当前问题，向i中物品时的背包添加第i种物品

#include  
using namespace std;
#define  V 1500  
unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0  
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)  
int main()
{

	int N, M;
	cin >> N;//物品个数  
	cin >> M;//背包容量  
	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		cin >> weight[i] >> value[i];
	}
	for (int i = 1; i <= N; i++)
		for (int j = 1; j <= M; j++)
		{
			if (weight[i] <= j)
			{
				f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
			}
		}

	cout << f[M] << endl;//输出最优解  

}