带权中位数问题:

带权中位数问题:
1.带权中位数
我国蒙古大草原上有N(N是不大于100的自然数)个牧民定居点P1(X1,Y1)、P2(X2,Y2)、 …Pn(Xn,Yn),相应地有关权重为Wi,现在要求你在大草原上找一点P(Xp,Yp),使P点到任 一点Pi的距离Di与Wi之积之和为最小。   
   即求 D=W1*D1+W2*D2+…+Wi*Di+…+Wn*Dn 有最小值   
结论:对x与y两个方向分别求解带权中位数,转化为一维。
设最佳点p为点k,则点k满足:
令W为点k到其余各点的带权距离之和,则
sigema( i=1 to k-1) Wi*Di < = W/2
sigema( i=k+1 to n) Wi*Di < = W/2
同时满足上述两式的点k即为带权中位数。
    我们都学过中位数问题,即给定了N个数后,位于第[N/2]的数就是中位数。所谓带权中位数,就是给定的N个数都有一个权值,或者说相当于个数。此时的中位数就不再是第[N/2]个数了,而是第[D[I]/2]个数。
而在信息学竞赛中,有这样一类题,给出了若干个排列在一条直线上的点,每个点有一个权值,比如说货物量、人数什么的,然后让我们找出使所有点的货物、人集合到一个点的总代价最小的位置。我们将会发现,这一类问题实际上就是带权中位数问题。
 
{
 一些符号的意思:
 D[I]—第I个点的权值
  DISTIJ)—IJ点的距离,即DISTIJ=|NUM[I]-NUM[J]|
 由定义式易知:DISTIJ=DISTJI
}
 
证明(简):
若最优点在T
则有:
{D[I]*DIST(IT)}(I<>T)<={D[I]*DIST(I,T+1)}(I<>T+1)
将此式化为:
{D[L]}*DIST(L,T)}+{D[R]*DIST(R,T)}+D[T+1]*DIST(T+1,T)  
<=∑{D[L]}*DIST(L,T+1)}+∑{D[R]*DIST(R,T+1)}+D[T]*DIST(T,T+1) (LT+1)
即:
{D[L]*DIST(L,T+1)}-{D[L]*DIST(L,T)}(L
>={D[R]*DIST(R,T)}-(D[R]*DIST(R,T+1))(R>T+1)+D[T+1]*(DIST(T,T+1))
进一步化简为:
{D[L]*(DIST(L,T)-DIST[L,T+1])}(L<=T)<={D[R]*(DIST(R,T+1)-DIST(R,T))}(R>=T+1)
DIST(L,T)-DIST(L,T+1)=DIST(T,T+1)
 DIST(R,T+1)-DIST(R,T)=DIST(T+1,T)
 OBVIOUSLY : DIST(T,T+1)=DIST(T+1,T)
因此:
 D[L](L<=T)>=(D[R])(R>=T+1)
即:∑D[L](L=(D[R])(R>T)
因此我们发现,若T是最优点,则必有其左边的权值和加上D[T]后大于右边的权值和
而类似的,我们可以证明其右边的权值和加上D[T]后大于左边的权值和
因此我们要找的点也就是满足以上条件的点。注意到此时我们的选择已经和具体的位置(坐标)没有关系了,而成为主要考虑因素的仅仅是各点上的权值。
因为左边的权值和数+D[T]>=右边的权值和,那么:
LEFTSUM+D[T]>=RIGHTSUM=SUMALL-(LEFTSUM+D[T])
=>2*(LEFTSUM+D[T])>=SUMALL
=>2*RIGHTSUM<=SUMALL
同理可得:
RIGHTSUM+D[T]>=LEFTSUM=SUMALL-(RIGHTSUM+D[T])
=>2*(RIGHTSUM+D[T])>=SUMALL
=>2*LEFTSUM<=SUMALL
此时我们发现:
 2*LEFTSUM<=SUMALL 而 2*(LEFTSUM+D[T])>=SUMALL
也即是说当前的位置T上的数包含了第[(SUMALL)/2]个数,由开篇的简述可知,这第[(SUMALL)/2]个数,就是这个序列中的带权中位数。所以这一类问题,实质上就是带权中位数问题。
 
证明的简单说明:
我们可以简单地把上面的证明过程看作是左边的人都集合到了M点,而右边的人都集合到了M+1点。此时形成了两军对垒的形式,如果左边的总人数比右边的多,那么从左边走到右边去就没有从右边走到左边来优,反之亦然。那么既然在当前点我们左边的总人数已经比右边多了,那么再往右边移动,左边的人数会进一步增多,而右边的人会减少,那么只会导致更差的结果,所以此时我们可以判断最优点一定在当前点的左边,或者至少在当前这个点。那么范围就从当前的[L,R]缩小到了[L,M],通过不断地缩小范围(而每一次缩小我们都砍掉了一半的范围),最后我们得到的将是一个点——那就是我们要求的集合位置。
 
NOTIFY THAT THE CHOICE OF THE MEETPLACE HAS NOTHING TO DO WITH THE DISTANCES!!
 最优位置的选择与距离无关!!
 
带权中位数问题常见算法:
1:朴素算法:
方法:枚举集合点,进行计算
时间复杂度:ON^2
2:递推算法:
1.朴素递推:
方法:分别计算对于一个点从左右过来的总代价,求其最小值
时间复杂度:ON
2递推改进算法
    方法:利用前面证明的结论和带权中位数的定义,只需要一次扫描即可
    时间复杂度:ON
3:分治算法:
1.     ONlogN的算法
方法:二分集合点,比较集合点为MM+1时的谁更优,不断缩小范围
2.     ON的二分改进算法
方法:二分集合点,但利用了已知信息,将时间复杂度降到ON
 
附录:
 
证明二分优化后的时间复杂度:
由于是二分,所以共执行了logN
最后一次的次数是1,之后依次递增:
即:2^0+2^1+…..+2^(logN)=2^(logN+1)-1=2*N-1
所以时间复杂度为:O(N)
 
{更新于2006-10-242134
UPDATED AT 2134 IN OCT 24TH2006}
优化后的二分实现:采用类似二分查找的迭代法
1.   SET L=1R=N
2.   WHILE  (L<=R)  DO
3.   M=(L+R)/2;
4.    IF  R=L
5.       THEN BREAK
6.       ELSE CALC_LEFTSUM&RIGHTSUM
7.     COMPARE LEFTSUM&RIGHTSUM
8.     IF LEFTSUM >RIGHTSUM
9.       THEN SET R=M; SET SUM[R]=SUM[R]+RIGHTSUM
10.    ELSE IF LEFTSUM
11.            THEN SET L=M+1; SET SUM[L]=SUM[L]+LEFTSUM
12    .ELSE BREAK
13.    IF NOT BREAK THEN BACK TO 2
14            SET MEETPLACE=M
15            CALC THE COST TO GET ALL TOGETHER AT MEETPLACE
 
即:
1.    设置初始的左右边界LR
2.    若左右边界LR未错位
3.      计算二分点M的位置
4.      若左右边界已重合
5.        则此时的二分点M就是最优点
6.        否则计算1~M的和LEFTSUMM+1~N的和RIGHTSUM
7.      比较LEFTSUMRIGHTSUM
8.          LEFTSUM大于RIGHTSUM
9.            则最优点在当前M的左边
10.                   置左边界为M+1,把LEFTSUM加到SUM[L]
11.               RIGHTSUM大于LEFTSUM
12.                 则最优点在当前M的右边(或在M点)
13.                   置右边界为M,把RIGHTSUM加到SUM[R]
14.               否则此时的M就是最优点
15.            若没有找到最优点则继续迭代
16.            置集合位置MEETPLACEM
17.            计算到MEETPLACE的代价
 
{更新于2006-10-25 819
UPDATED AT 819OCT 25TH2006}
递推改进算法的实现:
1. CALC THE SUM OF ALL POINTS
2. SET M=1
3. WHILE LEFTSUM+SUM[M]<(SUM-ALL DIV 2) DO
4. SET LEFTSUM=LEFTSUM+SUM[M] SET M=M+1
5.SET MEETPLACE=M
6.CALC THE COST TO GET ALL TOGETHER TO MEETPLACE
即:
1. 计算总的人数和
2. 1开始计算
3. 若满足左边的总人数+当前点的人数<总人数的一半
4.   则把当前点的人数累加到LEFTSUM中,同时M向后移动一位
5. 满足左边的人数和+当前点的人数和的点就是我们的最优点
6. 计算到MEETPLACE总代价
 
 

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