【算法】输油管道问题

描述

某石油公司计划建造一条由东向西的主输油管道。该管道要穿过一个有n口油井的油田。从每口油井都要有一条输油管道沿最短路经（或南或北）与主管道相连。
如果给定n口油井的位置，即它们的x坐标（东西向）和y坐标（南北向），应如何确定主管道的最优位置，即使各油井到主管道之间的输油管道长度总和最小的位置？
给定n口油井的位置，编程计算各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和。

输入

第1行是一个整数n，表示油井的数量（1≤n≤10 000）。
接下来n行是油井的位置，每行两个整数x和y
（﹣10 000≤x，y≤10 000）。

输出

各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和。

输入输出样例

输入样例

5
1 2
2 2
1 3
3 -2
3 3

输出样例

6

分析

设n口油井的位置分别为 Pi=(xi,yi)，i＝1～n。由于主输油管道是东西向的，因此可用其主轴线的y坐标唯一确定其位置。主管道的最优位置y应该满足：

由中位数定理可知，y是中位数。

代码

方法一：对数组a排序（一般是升序），取中间的元素

#include
using namespace std;

int main()
{
     
    int n;					//油井的数量
    int x;					//x坐标，读取后丢弃
    int a[1000];				//y坐标
    cin>>n;
    for(int k=0; k<n; k++)
        cin>>x>>a[k];
    sort(a,a+n);				//按升序排序
//计算各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和
    int min=0;
    for(int i=0; i<n; i++)
        min += (int)fabs(a[i]-a[n/2]);
    cout<<min<<endl;

}

方法二：采用分治策略求中位数

#include 
#include 
using namespace std;

#define NUM 1001
int a[NUM];
int select(int left, int right, int k)
{
     
    if (left >= right)
        return a[left];
    int i = left;
    int j = right+1;
    int pivot = a[left];
    while (true)
    {
     
        do
        {
     
            i = i+1;
        }
        while (a[i] < pivot);
        do
        {
     
            j = j-1;
        }
        while (a[j] > pivot);
        if (i >= j)
            break;
        swap(a[i], a[j]);
    }
    if (j-left+1 == k)
        return pivot;
    a[left] = a[j];
    a[j] = pivot;
    if (j-left+1 < k)
        return select(j+1, right, k-j+left-1);
    else
        return select(left, j-1, k);
}

int main()
{
     
    int n;
    int x;
    int y;
    cin>>n;
    for (int i=0; i<n; i++)
        cin>>x>>a[i];
    y = select(0, n-1, n/2);
    int min=0;
    for(int i=0; i<n; i++)
        min += (int)fabs(a[i]-y);
    cout<<min<<endl;
    return 0;
}