同时找到最大值与最小值
找到n个元素中的最大/小值，比较次数为n-1, 找到n个元素中的最大值和最小值，可以Two Pass，比较次数为2n-2
也可以One Pass，比较次数至多为\(\left \lfloor 3n/2 \right \rfloor\)
首先对最大值和最小值进行初始化，n为奇数时MAX和MIN均初始化v[0]，n为偶数时MAX和MIN分别初始化为v[0]和v[1]中的最大值和最小值
然后每两个数比较一次，小的数和MIN比较，大的数和MAX比较，共进行三次
- 对于n为奇数，总比较次数为\(3(n-1)/2 = \left \lfloor 3n/2 \right \rfloor\)
- 对于n为偶数，总比较次数为\(3(n-2)/2 + 1= 3n/2 - 2\)
无论哪种情况，总的比较次数至多为\(\left \lfloor 3n/2 \right \rfloor\)
#include
#include
using namespace std;
void findMaxMin(vector& v){
int n = v.size();
if(n == 0) return;
int MIN, MAX, i;
if(n % 2 == 0){
if(v[0] > v[1]) {
MIN = v[1];
MAX = v[0];
} else {
MIN = v[1];
MAX = v[0];
}
i = 2;
} else {
i = 1;
MIN = MAX = v[0];
}
while(i < n){
if(v[i] < v[i+1]){
MIN = min(v[i], MIN);
MAX = max(v[i+1], MAX);
} else {
MIN = min(v[i+1], MIN);
MAX = max(v[i], MAX);
}
i += 2;
}
cout << "MAX = " << MAX << ", MIN = " << MIN << endl;
}
int main(){
vector v{1,4,3,2,5,6,0,9,6,8,8,9};
findMaxMin(v);
return 0;
} O(n)最坏时间复杂度找到第k大算法（BFPRT）
BFPRT算法可以在O(n)最坏时间复杂度找到第k大，也可用于解决TOP-K问题
215. Kth Largest Element in an Array
随机化使用均摊的思想就不写了，用BFPRT检验下
严格的BFPRT
class Solution {
public:
void InsertSort(vector& a, int l, int r){
for(int i = l + 1; i <= r; i++){
auto x = a[i];
auto j = i;
while(j > l && x < a[j-1]){
a[j] = a[j-1];
j--;
}
a[j] = x;
}
}
int Partiton(vector& a, int l, int r, int m){
int x = a[m];
int i = l;
int j = r;
swap(a[m], a[l]);
while(i < j){
while(i < j && a[j] >= x) j--;
a[i] = a[j];
while(i < j && a[i] <= x) i++;
a[j] = a[i];
}
a[i] = x;
return i;
}
int BFPRT(vector& a, int l, int r, int k){
if(r - l + 1 < 5) {
InsertSort(a, l, r);
return l + k - 1;
}
int e = l - 1;
for(int i = l; i + 4 <= r; i += 5){
InsertSort(a, i, i+4);
swap(a[++e], a[i+2]);
}
int m = BFPRT(a, l, e, (e - l + 1) / 2 + 1);
int p = Partiton(a, l, r, m);
int n = p - l + 1;
if(n == k) return p;
if(n > k) return BFPRT(a, l, p-1, k);
return BFPRT(a, p+1, r, k - n);
}
int findKthLargest(vector& nums, int k) {
return nums[BFPRT(nums, 0, nums.size()-1, nums.size() - k + 1)];
}
}; 我自己最开始的写法，对找中位数的BFPRT函数做了特殊处理，使用FindMin代替，减少了无必要的BFPRT递归调用
class Solution {
public:
int InsertSort(vector& a, int l, int r){
for(int i = l + 1; i <= r; i++){
auto x = a[i];
auto j = i;
while(j > l && x < a[j-1]){
a[j] = a[j-1];
j--;
}
a[j] = x;
}
return l + (r - l) / 2;
}
int Partiton(vector& a, int l, int r, int m){
int x = a[m];
int i = l;
int j = r;
swap(a[m], a[l]);
while(i < j){
while(i < j && a[j] >= x) j--;
a[i] = a[j];
while(i < j && a[i] <= x) i++;
a[j] = a[i];
}
a[i] = x;
return i;
}
int FindMid(vector& a, int l, int r){
if(r - l + 1 < 5) return InsertSort(a, l, r);
int p = l - 1;
for(int i = l; i < r - 5; i += 5){
int mid = InsertSort(a, i, i+4);
swap(a[++p], a[mid]);
}
return FindMid(a, l, p);
}
int BFPRT(vector& a, int l, int r, int k){
if(l == r) return a[l];
int m = FindMid(a, l, r);
int p = Partiton(a, l, r, m);
int n = p - l + 1;
if(n == k) return a[p];
if(n > k) return BFPRT(a, l, p, k);
return BFPRT(a, p+1, r, k - n);
}
int findKthLargest(vector& nums, int k) {
return BFPRT(nums, 0, nums.size()-1, nums.size() - k + 1);
}
};
算法分析
当找到中位数的中位数时，除了不能被n整除的剩余组和包含有x的那个组除外，至少有一半的组中每个组至少3个元素大于x，所以大于x的元素个数最少为
\[ \begin{aligned} 3 \left \lceil \frac{1}{2}\left \lceil \frac{n}{5}\right \rceil{} -2 \right \rceil \geq \frac{3n}{10} - 6 \end{aligned} \]
递归选第k大最多有\(7n/ 10 + 6\)个元素
最坏情况下\(T(n) \leq T(\left \lceil n/5 \right \rceil) + T(7n/ 10 + 6) + O(n)\)
假定\(T(n) \leq cn\) 且\(O(n)\)的上界为\(an\)
\[ \begin{aligned} T(n) &\leq c\left \lceil n/ 5 \right \rceil + c(7n/ 10 + 6) + an\\ &\leq cn/5 + c + 7cn/10 + 6c + an \\ & = 9cn / 10 + 7c + an \\ & = cn + (-cn/10) + 7c + an \end{aligned} \]
只要使得\(-cn/10 + 7c + an \leq 0\)即可， 也就是$c \geq 10a(n / n - 70) $ 假设n>140,则\((n / n - 70) \leq 2\), 选择\(c \geq 20a\)即可
问题
- 如果每组分为3个元素，BFPRT的运行时间是线性的吗？不是（\(T(n) \leq T(\left \lceil n/ 3 \right \rceil) + T(2n/3 + 4)\)，由此得到常数项a,c为0时才满足线性时间，不符合）
- 每组分为7个呢？是
参考
- 算法导论第三版9.3
- BFPRT算法原理
TODO
k分位数