一、概述
前两章我们要求分类器做出艰难决策，给出“该数据实例属于哪一类”这类问题的明确答案。不过，分类器有时会产生错误结果，这时可以要求分类器给出一个最优的类别猜测结果，同时给出这个猜测的概率估计值。
概率论是许多机器学习算法的基础，所以深刻理解这一主题就显得十分重要。第3章在计算特征值取某个值的概率时涉及了一些概率知识，在那里我们先统计特征在数据集中取某个特定值的次数，然后除以数据集的实例总数，就得到了特征取该值的概率。我们将在此基础上深人讨论。
本章会给出一些使用概率论进行分类的方法。首先从一个最简单的概率分类器开始，然后给出一些假设来学习朴素贝叶斯分类器。我们称之为“朴素”，是因为整个形式化过程只做最原始、最简单的假设。不必担心，你会详细了解到这些假设。我们将充分利用Python的文本处理能力将文档切分成词向量，然后利用词向量对文档进行分类。我们还将构建另一个分类器，观察其在真实的垃圾邮件数据集中的过滤效果，必要时还会回顾一下条件概率。最后，我们将介绍如何从个人发布的大量广告中学习分类器，并将学习结果转换成人类可理解的信息。
假设现在我们有一个数据集，它由两类数据组成，数据分布如图所示。
我们现在用p1(x,y)表示数据点(x,y)属于类别1(以图中用圆点表示的类别）的概率，用p2(x,y)表示数据点(x,y)属于类别2 ( 图中用三角形表示的类别）的概率，那么对于一个新数据点(x,y)，可以用下面的规则来判断它的类别：
也就是说，我们会选择高概率对应的类别。这就是贝叶斯决策理论的核心思想，即选择具有最高概率的决策。回到图，如果该图中的整个数据使用6个浮点数来表示，并且计算类别概率的python代码只有两行，那么你会更倾向于使用下面哪种方法来对该数据点进行分类？
(1)使用第1章的knn ，进行1000次距离计算；
(2)使用第2章的决策树，分别沿x轴、y轴划分数据；
(3)计算数据点属于每个类别的概率，并进行比较。
使用决策树不会非常成功；而和简单的概率计算相比，knn的计算量太大。因此，对于上述问题，最佳选择是使用刚才提到的概率比较方法
二、优缺点
优点：在数据较少的情况下仍然有效，可以处理多类别问题。
缺点：对于输入数据的准备方式较为敏感。
适用数据类型：标称型数据。
三、数学公式
贝叶斯定理
了解贝叶斯定理之前，需要先了解下条件概率。P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率：
假如我们已经知道了P(A|B)，但是现在我们想要求P(B|A)，也就是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，这时贝叶斯定理就派上用场了。
前面提到贝叶斯决策理论要求计算两个概率p1(x,y) 和p2(x,y)；
但这两个准则并不是贝叶斯决策理论的所有内容。使用p1() p2()只是为了简化描述，而真正需要计算和比较的是p(c1|x,y) 和p(c2|x,y)。 这些符号的意思是：
给定某个x,y表示的数据点，那么该数据点来自类别c1的概率是多少? 来自c2的概率又是多少？
四、使用朴素贝叶斯进行文档分类
机器学习的一个重要应用就是文档的自动分类。在文档分类中，整个文档（如一封电子邮件）是实例，而电子邮件中的某些元素则构成特征。虽然电子邮件是一种会 不断增加的文本，但我们同样也可以对新闻报道、用户留言、政府公文等其他任意类型的文本进行分类。我们可以观察文档中出现的词，并把每个词的出现或者不出 现作为一个特征，这样得到的特征数目就会跟词汇表中的词目一样多。朴素贝叶斯是上节介绍的贝叶斯分类器的一个扩展，是用于文档分类的常用算法。
使用每个词作为特征并观察它们是否出现，这样得到的特征数目会有多少呢？针对的是哪一种人类语言呢？当然不止一种语言。据估计，仅在英语中，单词的总数就有500000之多。为了能进行英文阅读，估计需要掌握数千单词。
所谓独立,指的是统计意义上的独立，即一个特征或者单词出现的可能性与它和其他单词相邻没有关系。
这个假设正是朴素贝叶斯分类器中朴素一词的含义,朴素贝叶斯分类器中的另一个假设是，每个特征同等重要.
算法一般流程
1.数据的收集
2.数据的准备：数值型或布尔型
3.分析数据
4.训练算法：计算不同的独立特征的条件概率
5.测试算法：计算错误率
6.使用算法：以实际应用为驱动
朴素贝叶斯伪代码
1.计算各个独立特征在各个分类中的条件概率
2.计算各类别出现的概率
3.对于特定的特征输入，计算其相应属于特定分类的条件概率
4.选择条件概率最大的类别作为该输入类别进行返回
五、准备数据：从文本中构建词向量
我们将把文本看成单词向量或者词条向量，也就是说将句子转换为向量。考虑出现在所有文档中的所有单词，再决定将哪些词纳人词汇表或者说所要的词汇集合，然后必须要将每一篇文档转换为词汇表上的向量。
词表到向量的转换函数：
1 def loadDataSet(): 2 postingList=[['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'], 3 ['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'], 4 ['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'], 5 ['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'], 6 ['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'], 7 ['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']] 8 classVec = [0,1,0,1,0,1] #1 代表侮辱性词, 0 代表正常言论 9 return postingList,classVec 10 11 def createVocabList(dataSet): #根据数据集返回 关键词汇向量 12 vocabSet = set([]) # 创建空的集合 13 for document in dataSet: 14 vocabSet = vocabSet | set(document) # 操作符 | 用来求两个集合的并集 15 return list(vocabSet) # 返回 集合中 所有不重复的关键词 16 17 def setOfWords2Vec(vocabList, inputSet):# vocabList=词汇表 ，inputSet = 输入的文档 #文档词汇 转换 成文档 向量 18 returnVec = [0]*len(vocabList) # 生成一个值为0，长度和vocabList一样的集合 19 for word in inputSet: 20 if word in vocabList: 21 returnVec[vocabList.index(word)] = 1 22 else: print "the word: %s is not in my Vocabulary!" % word 23 return returnVec # 返回 输入文档inputSet 的向量
第一个函数loadDataset()创建了一些实验样本。该函数返回的第一个变量是进行词条切分后的文档集合,这些文档来自斑点犬爱好者留言板。这些留言文本被切分成一系列的词条集合，标点符号从文本中去掉，后面会探讨文本处理的细节。loadDataSet( )函数返回的第二个变量是一个类别标签的集合。这里有两类，侮辱性和非侮辱性。这些文本的类别由人工标注，这些标注信息用于训练程序以便自动检测侮辱性留言。
下一个函数createVocabList（）会创建一个包含在所有文档中出现的不重复词的列表，为此使用了Python 的set数据类型。将词条列表输给set构造数，set（）就会返回一个不重复词表。首先，创建一个空集合, 然后将每篇文档返回的新词集合添加到该集合中。操作符丨用于求两个集合的并集，这也是一个按位或（or) 操作符（参见附录0） 。在数学符号表示上，按位或操作与集合求并操作使用相同记号。
获得词汇表后，便可以使用函数setofWords2Vec（），该函数的输人参数为词汇表及某个文档，输出的是文档向量，向量的每一元素为1或0，分别表示词汇表中的单词在输人文档中是否出现。函数首先创建一个和词汇表等长的向量，并将其元素都设置为0 。接着，遍历文档中的所有单词，如果出现了词汇表中的单词，则将输出的文档向量中的对应值设为1。一切都顺利的话，就不需要检查某个词是否还vobalist中，后边可能会用到这一操作。
测试代码：
1 >>> listOPost,listClasses=bayes.loadDataSet() 2 >>> listOPost 3 [['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'], ['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'], ['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'], ['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'], ['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'], ['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']] 4 >>> listClasses 5 [0, 1, 0, 1, 0, 1] 6 >>> myVocabList=bayes.createVocabList(listOPost) 7 >>> myVocabList 8 ['garbage', 'love', 'my', 'dog', 'park', 'buying', 'help', 'is', 'so', 'to', 'ate', 'steak', 'please', 'him', 'not', 'stupid', 'take', 'maybe', 'posting', 'problems', 'worthless', 'I', 'food', 'quit', 'mr', 'dalmation', 'stop', 'has', 'licks', 'how', 'flea', 'cute'] 9 #检查上述的词表发现，这里不会出现重复的单词 10 >>> bayes.setOfWords2Vec(myVocabList,listOPost[0])# 把文档转换成向理 11 [0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0] 12 >>> bayes.setOfWords2Vec(myVocabList,listOPost[3])# 把文档转换成向理 13 [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
六、训练算法：从词向量计算概率
前面介绍了如何将一组单词转换为一组数字，接下来看看如何使用这些数字计算概率。现在已经知道一个词是否出现在一篇文档中，也知道该文档所属的类别。还记得前面提到的贝叶斯准则？我们重写贝叶斯准则，将之前的x、y替换为w。粗体w表示这是一个向量，即它由多个数值组成。在这个例子中，数值个数与词汇表中的词个数相同。
我们将使用上述公式，对每个类计算该值，然后比较这两个概率值的大小。如何计算呢？首先可以通过类别i（侮辱性留言或非侮辱性留言）中文档数除以总的文档数来计算概率p(ci)。接下来计算p(w|ci)，这里就要用到朴素贝叶斯假设。如果将w展开为一个个独立特征，那么就可以将上述概率写作p(w0,w1,w2..wN|ci)。这里假设所有词都互相独立，该假设也称作条件独立性假设，它意味着可以使用p(w0|ci)p(w1|ci)p(w2|ci)...p(wN|ci)来计算上述概率，这就极大地简化了计算的过程。
该函数的伪代码如下：
计算每个类别中的文档数目
对每篇训练文档：
对每个类别：
如果词条出现文档中―增加该词条的计数值
增加所有词条的计数值
对每个类别：
对每个词条：
将该词条的数目除以总词条数目得到条件概率
还回每个类别的条件概率
朴素贝叶斯分类器训练函数：
1 def trainNB0(trainMatrix,trainCategory): #trainMatrix 所有文档的向量形式 trainCategory 文档的分类 类别向量 #计算不同分类的文档概率，即 P(W|C1) P(W|C0) 2 numTrainDocs = len(trainMatrix) # numTrainDocs = 总文档数 3 numWords = len(trainMatrix[0]) # numWords= 词汇长度 4 pAbusive = sum(trainCategory)/float(numTrainDocs) # 计算 分类=1 的文档比例 p(1)的概率，这是一个二分类的问题 p(0)=1-p(1) 5 p0Num = zeros(numWords); p1Num = zeros(numWords) #初始化概率， 分子 6 p0Denom = 0.0; p1Denom = 0.0 #定义分母 7 for i in range(numTrainDocs): 8 if trainCategory[i] == 1: #类别为 1 9 p1Num += trainMatrix[i] # 分子向量累计相加 10 p1Denom += sum(trainMatrix[i])#分母 向量之和 11 else: 12 p0Num += trainMatrix[i] 13 p0Denom += sum(trainMatrix[i]) 14 p1Vect = p1Num/p1Denom # 当类别为 1 时，计算每个文档中出现 词汇的概率 15 p0Vect = p0Num/p0Denom # 16 return p0Vect,p1Vect,pAbusive
代码函数中的输入参数为文档矩阵trainMa-trix，以及由每篇文档类别标签所构成的向量train-Category。首先，计算文档属于侮辱性文档（class=1）的概率，即P(1)。因为这是一个二类分类问题，所以可以通过1-P(1)得到P(0)。对于多于两类的分类问题，则需要对代码稍加修改。
计算p(wi|c1)和p(wi|c0)，需要初始化程序中的分子变量和分母变量①。由于w中元素如此众多，因此可以使用NumPy数组快速计算这些值。
上述程序中的分母变量是一个元素个数等于词汇表大小的NumPy数组。在for循环中，要遍历训练集trainMatrix中的所有文档。一旦某个词语（侮辱性或正常词语）在某一文档中出现，则该词对应的个数（p1Num或者p0Num）就加1，而且在所有的文档中，该文档的总词数也相应加1②。对于两个类别都要进行同样的计算处理。最后，对每个元素除以该类别中的总词数③。利用NumPy可以很好实现，用一个数组除以浮点数即可，若使用常规的Python列表则难以完成这种任务，读者可以自己尝试一下。最后，函数会返回两个向量和一个概率。
接下来试验一下，在Python提示符下输入：
1 >>> listOPosts,listClasses=bayes.loadDataSet() 2 3 >>> listOPosts 4 [['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'], 5 ['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'], 6 ['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'], 7 ['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'], 8 ['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'], 9 ['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']] 10 >>> listClasses 11 [0, 1, 0, 1, 0, 1] 12 13 >>> myVocabList=bayes.createVocabList(listOPosts) 14 #至此我们构建了一个包含所有词的列表myVocabList。 15 >>> myVocabList 16 ['garbage', 'love', 'my', 'dog', 'park', 'buying', 'help', 'is', 'so', 'to', 'ate', 'steak', 'please', 'him', 'not', 'stupid', 'take', 'maybe', 'posting', 'problems', 'worthless', 'I', 'food', 'quit', 'mr', 'dalmation', 'stop', 'has', 'licks', 'how', 'flea', 'cute'] 17 18 >>> trainMat=[] 19 >>> for postinDoc in listOPosts: 20 trainMat.append(bayes.setOfWords2Vec(myVocabList,postinDoc)) 21 22 >>> trainMat 23 [[0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0], 24 [0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], 25 [0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1], 26 [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0], 27 [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0], 28 [0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]] 29 #该for循环使用词向量来填充trainMat列表。下面给出属于侮辱性文档的概率以及两个类别的概率向量 30 >>> p0V,p1V,pAb=bayes.trainNB0(trainMat,listClasses) 31 >>> pAb #这就是任意文档属于侮辱性文档的概率。 32 0.5 33 >>> p0V 34 array([ 0. , 0.04166667, 0.125 , 0.04166667, 0. , 35 0. , 0.04166667, 0.04166667, 0.04166667, 0.04166667, 36 0.04166667, 0.04166667, 0.04166667, 0.08333333, 0. , 37 0. , 0. , 0. , 0. , 0.04166667, 38 0. , 0.04166667, 0. , 0. , 0.04166667, 39 0.04166667, 0.04166667, 0.04166667, 0.04166667, 0.04166667, 40 0.04166667, 0.04166667]) 41 >>> p1V 42 array([ 0.05263158, 0. , 0. , 0.10526316, 0.05263158, 43 0.05263158, 0. , 0. , 0. , 0.05263158, 44 0. , 0. , 0. , 0.05263158, 0.05263158, 45 0.15789474, 0.05263158, 0.05263158, 0.05263158, 0. , 46 0.10526316, 0. , 0.05263158, 0.05263158, 0. , 47 0. , 0.05263158, 0. , 0. , 0. , 48 0. , 0. ])
首先，我们发现文档属于侮辱类的概率pAb为0.5，该值是正确的。接下来，看一看在给定文档类别条件下词汇表中单词的出现概率，看看是否正确。词汇表中的第一个词是cute，其在类别0中出现1次，而在类别1中从未出现。对应的条件概率分别为0.041 666 67与0.0。该计算是正确的。我们找找所有概率中的最大值，该值出现在P(1)数组第26个下标位置，大小为0.157 89474。在myVocabList的第26个下标位置上可以查到该单词是stupid。这意味着stupid是最能表征类别1（侮辱性文档类）的单词。
七、测试算法：根据现实情况修改分类器
利用贝叶斯分类器对文档进行分类时，要计算多个概率的乘积以获得文档属于某个类别的概率，即计算p(w0|1)p(w1|1)p(w2|1)。如果其中一个概率值为0，那么最后的乘积也为0。为降低这种影响，可以将所有词的出现数初始化为1，并将分母初始化为2。在文本编辑器中打开bayes.py文件，并将trainNB0()的第4行和第5行修改为：
p0Num=ones(numWords);p1Num=ones(numWords)
p0Denom=2.0;p1Denom=2.0
另一个遇到的问题是下溢出，这是由于太多很小的数相乘造成的。当计算乘积p(w0|ci)p(w1|ci)p(w2|ci)...p(wn|ci)时，由于大部分因子都非常小，所以程序会下溢出或者得到不正确的答案。（读者可以用Python尝试相乘许多很小的数，最后四舍五入后会得到0。）
一种解决办法是对乘积取自然对数。在代数中有ln(a*b) =ln(a)+ln(b)，于是通过求对数可以避免下溢出或者浮点数舍入导致的错误。同时，采用自然对数进行处理不会有任何损失。图 给出函数f(x)与ln(f(x))的曲线。检查这两条曲线，就会发现它们在相同区域内同时增加或者减少，并且在相同点上取到极值。它们的取值虽然不同，但不影响最终结果。
函数f(x)与ln(f(x))会一块增大。这表明想求函数的最大值时，可以使用该函数的自然对数来替换原函数进行求解
通过修改return前的两行代码，将上述做法用到分类器中：
p1Vect=log(p1Num/p1Denom)
p0Vect=log(p0Num/p0Denom)
修改后的 trainNB0 代码：
1 def trainNB0(trainMatrix,trainCategory): 2 numTrainDocs = len(trainMatrix) 3 numWords = len(trainMatrix[0]) 4 pAbusive = sum(trainCategory)/float(numTrainDocs) 5 p0Num = ones(numWords); p1Num = ones(numWords) #change to ones() 6 p0Denom = 2.0; p1Denom = 2.0 #change to 2.0 7 for i in range(numTrainDocs): 8 if trainCategory[i] == 1: 9 p1Num += trainMatrix[i] 10 p1Denom += sum(trainMatrix[i]) 11 else: 12 p0Num += trainMatrix[i] 13 p0Denom += sum(trainMatrix[i]) 14 p1Vect = log(p1Num/p1Denom) #change to log() 15 p0Vect = log(p0Num/p0Denom) #change to log() 16 return p0Vect,p1Vect,pAbusive
现在已经准备好构建完整的分类器了。当使用NumPy向量处理功能时，这一切变得十分简单。打开文本编辑器，将下面的代码添加到bayes.py中：
朴素贝叶斯分类函数
1 def classifyNB(vec2Classify, p0Vec, p1Vec, pClass1): #根据 输入的 文档 对文档进行分类 预测 P(W|C0)=p0Vec P(W|C1)=p0Vec 2 p1 = sum(vec2Classify * p1Vec) + log(pClass1) #element-wise mult 3 p0 = sum(vec2Classify * p0Vec) + log(1.0 - pClass1) 4 if p1 > p0: 5 return 1 6 else: 7 return 0 8 9 def testingNB(): 10 listOPosts,listClasses = loadDataSet() 11 myVocabList = createVocabList(listOPosts) 12 trainMat=[] 13 for postinDoc in listOPosts: 14 trainMat.append(setOfWords2Vec(myVocabList, postinDoc)) 15 p0V,p1V,pAb = trainNB0(array(trainMat),array(listClasses)) 16 testEntry = ['love', 'my', 'dalmation'] 17 thisDoc = array(setOfWords2Vec(myVocabList, testEntry)) 18 print (testEntry,'classified as: ',classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb)) 19 testEntry = ['stupid', 'garbage'] 20 thisDoc = array(setOfWords2Vec(myVocabList, testEntry)) 21 print (testEntry,'classified as: ',classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb))
classifyNB代码有4个输入：要分类的向量vec2Clas-sify以及使用函数trainNB0()计算得到的三个概率。使用NumPy的数组来计算两个向量相乘的结果①。这里的相乘是指对应元素相乘，即先将两个向量中的第1个元素相乘，然后将第2个元素相乘，以此类推。接下来将词汇表中所有词的对应值相加，然后将该值加到类别的对数概率上。最后，比较类别的概率返回大概率对应的类别标签。
下面来看看实际结果。将程序清单4-3中的代码添加之后，在Python提示符下输入：
1 >>> imp.reload(bayes) 2'bayes' from 'F:\\99999_算法\\《机器学习实战》源代码\\machinelearninginaction\\Ch04\\bayes.py'> 3 >>> bayes.testingNB() 4 ['love', 'my', 'dalmation'] classified as: 0 5 ['stupid', 'garbage'] classified as: 1
八、文档词袋模型
目前为止，我们将每个词的出现与否作为一个特征，这可以被描述为词集模型（set-of-words model）。如果一个词在文档中出现不止一次，这可能意味着包含该词是否出现在文档中所不能表达的某种信息，这种方法被称为词袋模型（bag-of-wordsmodel）。在词袋中，每个单词可以出现多次，而在词集中，每个词只能出现一次。为适应词袋模型，需要对函数setOf-Words2Vec()稍加修改，修改后的函数称为bagOfWords2Vec()。下面的程序清单给出了基于词袋模型的朴素贝叶斯代码。它与函数setOfWords2Vec()几乎完全相同，唯一不同的是每当遇到一个单词时，它会增加词向量中的对应值，而不只是将对应的数值设为1。
朴素贝叶斯词袋模型
def bagOfWords2VecMN(vocabList, inputSet): returnVec = [0]*len(vocabList) for word in inputSet: if word in vocabList: returnVec[vocabList.index(word)] += 1 return returnVec
九、示例：使用朴素贝叶斯过滤垃圾邮件