jzoj 6797. 【2014广州市选day2】hanoi

Description

你对经典的hanoi塔问题一定已经很熟悉了。有三根柱子，n个大小不一的圆盘，要求大盘不能压在小盘上，初始时n个圆盘都在第一根柱子上，最少要多少步才能挪到最后一根柱子上？
现在我们来将hanoi塔扩展一下，由三根柱子扩展到四根柱子，其余规则不变。例如，3个圆盘，四根柱子A到D，初始时圆盘都A柱上，我们用五步就可以将圆盘都挪到D柱上：
第一步：将圆盘1从A挪到B；
第二步：将圆盘2从A挪到C；
第三步：将圆盘3从A挪到D；
第四步：将圆盘2从C挪到D；
第五步：将圆盘1从B挪到D。
你的任务是写一个程序求解四柱子hanoi塔问题最少要多少步可以解决。

Input

输入只有一行，为一个正整数n。（1<=n<=1000）

Output

输出为一个正整数，代表n盘四柱子hanoi塔问题最少要多少步可以解决。

Solution

在做经典汉诺塔问题的时候，我们是用递推求出n个盘子时的步数的，我们做这道题的时候也就类比，尝试是否能够递推解决问题
以下是前10个数的表

盘子数	步数
1	1
2	3
3	5
4	9
5	13
6	17
7	25
8	33
9	41
10	49
...	...

观察上面的表格，我们发现，从1个盘子到2个盘子与2个到3个各增加了2步即\(2^{1}\)步；从3个到4个、从4个到5个与从5个到6个各增加了4步即\(2^{2}\)步，以此类推，我们做出猜想

\[f_{i}=f_{i-1}+2^{k} \]

其中\(k \in N^{*}\)且是递增的
对于\(2^{k}\)会加（k+1）次
数据\(n \leqslant 1000\)所以直接递推就好

#include 
#include 
#define open(x) freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout);
using namespace std;
int n,cnt,num,i;
long long add,f[1001];
int main()
{
    open("hanoi");
    scanf("%d",&n);
    f[1]=1;f[2]=3;f[3]=5;
    add=4;cnt=3;num=3;
    for (i=4;i<=n;i++)
    {
        f[i]=f[i-1]+add;
        cnt--;
        if (!cnt) cnt=++num,add*=2;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}