定点数无损量化

量化公式

若需要量化成的定点数格式：m位定点数，n个小数位，无符号位，那么n称作量化系数，则将一个浮点数量化成该格式的定点数公式为
$$nu{m}_{fix}=floor(nu{m}_{float}\ast 2^n)$$
floor为向下取整函数（舍弃小数位），该格式的定点数最小能够表示的数为1/2^n , num_fix为量化之后的m位定点数，表示的数为$$nu{m}_{fix}\ast 1/2^n$$
引用其他博客的话，可以这样理解：量化系数n决定了我们逻辑上认为01序列中可表示的单位值为1/2^n ，而CPU读取的数字表示有多少份单位值
举例来说，对于固定的01序列值：0001_1100

量化系数	CPU读取值	单位值	表示逻辑值
3	28	0.125	3.5
2	28	0.250	7.0

所以，定点数的小数点实际中是没有的，这只是我们逻辑上的一种设定。01序列是一样的，CPU读取都是相同的，因为我们逻辑上小数点的不同位置，我们认为它代表的值是不同的

例题

一道很经典的题：对12.918做无损定点化，最小位宽是多少？（大疆笔试题）
思路：首先整数部分很明显至少需要4位，而找小数部分最少位宽的最方便方法是，根据上面的量化公式，将小数部分不断乘以2，直到乘出的结果为只含有整数为止，那么此时进行定点量化就是完全无损的。但是对于这道题0.918，无论乘以2的多少次方都无法得到只含整数的结果，那么是否就意味着无法无损量化了呢？其实，无论有多少小数位，2进制编码的精度都是以5结尾的，因此2进制编码并不能完全无损的表示任意小数，但是根据数学上误差的概念，只要误差小于最小精度的一半，就可以认为是“无损”的了（本质上就是4舍5入）。那么如果小数位用8位表示，乘以2的8次方取整，舍弃的值为0.008，除回2的8次方，得到量化误差为0.0003125，而精度为1/(2^8)=0.00380625, 量化误差小于精度的一半，满足“无损条件”。而如果小数位用7位表示，经过同样的方法可以证明无法无损量化。