统计量及抽样分布（一）

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常用的统计量

样本均值 ：反映总体X数学期望信息

 样本方差 ：它反映总体的方差信息

n-1其实是无偏方差

 样本变异系数V ，反映总体变异系数C的信息

 总体变异系数C的定义

 反映随机变量在以它的均值为单位时取得的离散程度， 此统计量消除了均值不同对不同总体的离散程度的影响，常用来刻画均值不同对不同总体的离散程度的影响，常用来刻画均值不同的离散程度

常用在投资项目风险分析、不同群体或行业的收入差距描述中

样本偏度和峰度

  a、样本偏度，反映总体的偏度信息，偏度反映了随机变量密度函数曲线在众数（密度函数在这一点达到最大值）两i案的对称偏斜性。如果X~N（μ， ），则偏度 =0。

 b、样本峰度 ，反映总体峰度的信息。峰度反映了密度函数曲线在众数附近的“峰”的尖峭程度，正态随机变量X~N（μ， ）的峰度  =0

偏度和峰度的概念在质量控制和可靠性研究中与极其广泛的应用

正态分布导出的几个重要分布

1、卡方分布（x^2分布）

定义

设随机变量X1,X2,..Xn相互独立，且Xi（i=1，2，......，n）服从标准正态分布，则他们的平方和 服从自由度为n的X^2分布

这是统计学书籍的介绍不是很理解，但是通过下述公式描述就比较好理解了

X~N（μ， ）

 由上述可知，卡方分布是由标准正态分布平方之和构成

当总体 X~N（μ， ），从中抽取容量n的样本则

 特性

数学期望

方差

=2n

可加性，即若

 

2、t分布

定义

设随机变量 X~N（0，1 ），Y~X^2(n)，且X与Y独立，则

 其分布称为t分布，记为t（n），其中，n为自由度。

当n>=2,t分布的数学期望E（t）=0

当n>=3，t分布的方差D（t）=n/n-2

自由度为1的分布称为柯西分布，随着自由度n的增加，t分布的密度函数越来越接近标准正态分布的密度函数，一般n>=30,t分布就与标准正态分布非常接近

t分布有关的抽样分布

设X1，X2,...Xn是来自正态分布 X~N（μ， ）的一个样本，

 

 则有

 称为服从自由度为（n-1）的t分布

 

F分布

定义

设随机变量Y与Z互相独立，且Y和Z分别服从自由度为m和n的X^2分布（卡方分布），随机变量X有如下表达式

 则称X服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为F（m， n），简记为X~F（m， n）

数学期望

E（X）=n/n-2 ,n>2

方差

D（X）=2n^2（m+n-2）/m（n-2）（n-4）， n>4

 

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