多元积分学关于投影问题的思考

对于投影，说它重要吧，考题里又没有明显的题眼让求投影，说其不重要吧，三种积分，第一型曲面积分都是用户投影的思想，所以我把投影的地位概括为基础性地位，就像我们的计算能力一样，这是解决其他一切问题的基础。

本文探讨投影，想从四个角度论述投影在考试中的应用。

1.小题，计算题

2.投影重合怎么办？

3.投影不是平面怎么办？

4.是不是真的有投影重合？

下面逐一探讨。

1.这里我想说的就是基本的投影的计算，包括又包括两点内容

（1）向量，投影向量（这应该是属于高中的知识，总结在这儿是因为符合要讨论的内容）

此即为向量u在向量v上的投影。

（2）投影曲线方程，这就属于空间解析几何的内容，如果采用交面式，可以将曲线方程写成两个平面的交线，例如投影到xoy平面上，那么其中已经有一个平面，Z=0，再找出另外一个平面就好。

这里还有一种解题的手法是利用平面束方程，投影内在是包含着一种垂直关系，接下来以例题说明

例1：source：18讲

这只是一道简单的问题，实际上用平面束并不是好选择，我只是为了说明该方法怎么解题。根据直线的方程，可以将其写成交面式，那么过该直线的平面束就可以知道了，该平面束中与平面垂直的平面，两个平面的交线就是所求结果。

2.投影重合怎么办？（据不完全统计，自己在这儿错了5次都不止，每次在这地方错，我便在错题旁大大的写上：你猪啊！！）

实际是这并不是难点，是易忽略的点才是，关于投影重合的处理手法就是根据对称性如果是两倍前面乘以2就得了，最常见的就是图形关于xoy平面对称，此时如果投影到xoy平面的话，投影就是重合的，你前面*2，然后图形只考虑上半边不就行了？？？

再次加深印象，你要是再错的话，额，好吧，也许你真的太笨了！

3.投影不是平面图形怎么办？

也就是说投影如果只是一个线，一个点怎么办？这是可以理解的，就像那些距离我们亿万光年的星球在我们的眼睛里只成了昏暗的亮点一样。

这里的处理手法就是得换投影面了，以例题为例：

例2：source：1000题chapter 6

分析：图形是一个圆柱面，如果投影到xoy平面的话，就是一个圆圈周围的线，没有所谓的面积，所以不可行，考虑投影到yoz平面，这里又涉及到投影重合，所以只考虑前半边。

4.这一点我想说明一个问题，假设现在一个图形跨越了Z=0的面，其投影是否重叠？

直接上题吧!

例3：source：1000题

例4：source：1000题

在此仅做理论上的探讨，两道题一道题是求曲面积分，一道题是求三重积分，对于例3而言，是有投影重合的，所以算一半*2.

对于例四，注意，这是三重积分。虽然经过了xoz平面，但当你用投影法列式子的时候，考虑的是一条平行于y轴的线去穿越这个图形，在这里不是投影重合！

总结：投影重合需要和具体的积分类型相联系！！！！