正交多项式拟合函数

实验要求：

给定函数f(x)在 m 个采样点处的值f()以及每个点的权重（1<= i <= m），求曲线拟合的正交多项式，满足最小二乘误差

。

函数接口定义：

int OPA( double (*f)(double t), int m, double x[], double w[], double c[], double *eps )

在接口定义中：f是给定函数f(x)，m为采样点个数，x传入m个采样点，w传入每个点的权重；c传回求得的曲线拟合的正交多项式的系数，eps传入最小二乘误差上限TOL，并且传回拟合的实际最小二乘误差

。

另外，在裁判程序中还定义了常数MAXN，当拟合多项式的阶数达到MAXN却仍未达到精度要求时，即返回 n = MAXN时的结果。

伪代码：

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  Algorithm: Orthogonal Polynomials Approximation

To approximate a given function by a polynomial with error bounded

by a given tolerance.

Input: number of data m; x[m]; y[m]; weight w[m]; tolerance TOL;

            maximum degree of polynomial Max_n.

Output: coefficients of the approximating polynomial.

1. 1  Set  j0(x) º 1;  a0 = (j0, y)/(j0, j0);  P(x) = a0 j0(x);  err = (y, y) - a0 (j0, y);
2. 2  Set  a1= (xj0, j0)/(j0, j0);  j1(x) = (x - a1) j0(x);
3. 1 = (j1, y)/(j1, j1);  P(x) += a1 j1(x);  err  -= a1 (j1, y);

Step 3  Set  k = 1;

1. 4  While (( k < Max_n)&&(|err|³TOL))  do  steps 5-7

                Step 5  k ++;

1. 6  ak= (xj1, j1)/(j1, j1);  bk-1 = (j1, j1)/(j0, j0);
2. 2(x) = (x - ak) j1(x) - bk-1 j0(x);  ak = (j2, y)/(j2, j2);

1. (x) += ak j2(x);  err  -= ak (j2, y);

1. 7  Set j0(x) = j1(x); j1(x) = j2(x);

Step 8  Output ( );  STOP.

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c语言实现：

#include
#include

#define MAXM 200 /* 采样点个数上限*/
#define MAXN 5 /* 拟合多项式阶数上限*/

/* 这里仅给出2个测试用例，正式裁判程序可能包含更多测试用例 */
double qi_x[MAXN+1][MAXN+1];//存储基底函数
double ak[MAXN+1];//存储拟合函数对应基地的系数


double f1(double x)
{
  return sin(x);
}

double f2(double x)
{
  return exp(x);
}


//用于求x的n次方
double power(double x,int n)
{
    int i;
    double y=1;
    for(i=0;i0;i--)
    temp[i]=x[i-1];

    temp[0]=0;
}

//用于完成拟合函数和基底函数的内积
double get_function_inner_product(double (*f)(double t),double x[],double y1[],double w[],int m)
{
    int i,j;
    double sum=0;
    double sum1;
    for(i=0;i=*eps))
    {
        k=k+1;
        double temp1[MAXN+1]={0};

        carry_x(qi_x[k-1],temp1);

        m1=get_Inner_product(x,temp1,qi_x[k-1],w,m)/get_Inner_product(x,qi_x[k-1],qi_x[k-1],w,m);

        n=get_Inner_product(x,qi_x[k-1],qi_x[k-1],w,m)/get_Inner_product(x,qi_x[k-2],qi_x[k-2],w,m);

        Array_op(k,m1,n);
       // printf("%f\n",get_function_inner_product(f,x,qi_x[k],w,m));

        ak[k]=get_function_inner_product(f,x,qi_x[k],w,m)/get_Inner_product(x,qi_x[k],qi_x[k],w,m);
       // printf("%f\n",ak[k]);
        err=err-ak[k]*get_function_inner_product(f,x,qi_x[k],w,m);
    }
    *eps=err;
    return k;
}

//输出实验结果
void print_results( int n, double c[], double eps)
{ /* 用于输出结果 */
  int i;
  int m,k;
  for(m=0;m