【洛谷 P1306】斐波那契公约数——杨子曰题目

【洛谷 P1306】斐波那契公约数——杨子曰题目

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题目描述
对于Fibonacci数列：1,1,2,3,5,8,13…大家应该很熟悉吧~~~但是现在有一个很“简单”问题：第n项和第m项的最大公约数是多少？

输入格式：
两个正整数n和m。（n,m<=10^9）

注意：数据很大

输出格式：
Fn和Fm的最大公约数。

由于看了大数字就头晕，所以只要输出最后的8位数字就可以了。

输入样例：

4 7

输出样例：

1

说明
用递归&递推会超时
用通项公式也会超时

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这怕不是一道数学题……

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看到题面，我们就可以猜测（别问我是怎么猜到的）：
$$gcd(f[n],f[m])=f[gcd(n,m)]$$

于是我们就来证一证呗！

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不过在证这个之前我们先要证明这样一个东东：$gcd(f[n],f[n+1])=1$也就是斐波那契的相邻两项互质：

欧几里得算法（那是什么?戳）告诉我们：
$$gcd(f[n],f[n+1])=gcd(f[n],f[n+1]-f[n])$$
有没有发现$f[n+1]-f[n]=f[n-1]$，于是我们得到了：
$$gcd(f[n],f[n+1])=gcd(f[n],f[n-1])$$
嗯？这不就说明斐波那契数列所有相邻两项的gcd都相等吗？

显然：gcd(f[1],f[2])=1，这样一来所有的相邻两项gcd就都是1了

得证！

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咱们正式开始证明：$gcd(f[n],f[m])=f[gcd(n,m)]$

首先我们假设$n<m,f[n]=a,f[n+1]=b$
这样一来我们往后推一下发现：
$$f[n+1]=a+b,f[n+2]=a+2b,f[n+3]=2a+3b\cdots \cdots f[m]=f[m-n-1]a+f[m-n]b$$
(↑不明白的童鞋自己多模拟几个↑)

然后我们把a和b代掉：
$$f[m]=f[m-n-1]\ast f[n]+f[m-n]\ast f[n+1]$$
这样一来：
$$gcd(f[n],f[m])=gcd(f[n],f[m-n-1]\ast f[n]+f[m-n]\ast f[n+1])$$

而$f[m-n-1]\ast f[n]$是$f[n]$的倍数，说明他对这个gcd毫无影响，也就是说：
$$gcd(f[n],f[m])=gcd(f[n],f[m-n]\ast f[n+1])$$
上面已经证过了：$gcd(f[n],f[n+1])=1$，说明$f[n+1]$对这个gcd值毫无任何贡献，我们得到了：
$$gcd(f[n],f[m])=gcd(f[n],f[m-n])$$
这个式子就很神奇了，有没有发现它有点像欧几里得算法（戳我），我们可以得到的是：
$$gcd(f[n],f[m])=gcd(f[n],f[mmodn])$$
简单解释一下这一步是怎么推过来的，对于上面的上面的那个式子，如果我们把$f[n-m]$这看成等式左边一项新的$f[m]$就可以继续把下标减n，一直减一直减，直到不能减了为止，就是$mmodn$(和欧几里得算法的想法是一样滴)

根据这个式子：$gcd(f[n],f[m])=gcd(f[n],f[mmodn])$我们就可以像欧几里得算法一样不停的的递归下去了

直到m变成了0，答案就是f[n]，有没有发现这时的n就是最开始的gcd(m,n)

得证

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题目已经告诉你了不要用递归，递推，通项公式之类的东西

So，我们不得不 使用矩阵快速幂（你也可以使用一个更加神奇的方法，在O(log n)的时间里求出斐波那契第n项，戳我，这篇文章里就不多讲了）

最终想法：用矩阵快速幂求出f[gcd(n,m)] mod 100000000，即为答案
复杂度：O(log n)

OK，完事

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c++代码：

#include 
using namespace std;
 
int p=100000000;
 
struct Matrix{
    int a[3][3];
    void init(){
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    void one(){
        memset(a,0,sizeof(a));
        for (int i=1;i<=2;i++){
            a[i][i]=1;
        }
    }
}f; 
 
Matrix operator * (Matrix x,Matrix y){
    Matrix c;
    c.init();
    for (int i=1;i<=2;i++){
        for (int j=1;j<=2;j++){
            for (int k=1;k<=2;k++){
                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+1LL*x.a[i][k]*y.a[k][j])%p;
            }
        }
    } 
    return c;
}
 
Matrix operator ^ (Matrix x,int k){
    Matrix ans;
    ans.one();
    while(k){
        if (k&1) ans=ans*x;
        x=x*x;
        k>>=1;
    }
    return ans;
}

int gcd(int a,int b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

int fib(int n){
	    if (n==0) return 0;
        if (n==1) return 1;
        f=f^(n-2);
        return (f.a[1][2]+f.a[2][2])%p;
}
 
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    f.a[1][1]=0;
    f.a[1][2]=1;
    f.a[2][1]=1;
    f.a[2][2]=1;
    cout<<fib(gcd(n,m));
    return 0;
}

参考：https://www.luogu.org/blog/five20/solution-p1306
于HG机房