ACM算法——组合数学

卡特兰数
问题:
n对括号有多少种合法的匹配方式?(卡特兰数的常见应用之一)
结论:
对于n对括号,合法的排列共有C(n,2n)-C(n+1,2n)
基本思路:
考虑n对括号,有n个(和n个),对于任意一个)其前面必定有一个(跟他对应,如果没有则是非法序列。也就是说,对于),其前面的(的数量必须大于等于)的数量。假设(=1,)=-1。合法的序列是 1 -11 -1 1 -1,不合法的序列是1 -1 -1 1 1 -1。n对括号的全排列数为C(n,2n),减掉那些不合法的排列数就得到了合法的排列数,那么不合法的排列数怎么得到呢?观察上面不合法的序列1 -1 -1 1 1 -1,从第3个数开始,)的个数比(大1,因此,后面的(的个数也会比)大1。我们把1到3的数翻转一下,变成-1 1 1 1 1 -1,得到一个有n+1个1,n-1个-1的序列。这样的序列总共有C(n-1,2n)或者C(n+1,2n)种。
我们可以得出这样一个结论:对于所有有n+1个1,n-1个-1的序列,都存在一个转折点k,在k之前1的数量比-1的数量大1,在k之后1的数量比-1的数量大1。我们只需要从第1个到第k个元素翻转回去,就能变成对于有n个1,n个-1的情况下的非法排列。因此我们可以得到非法排列的个数为C(n,2n)-C(n+1,2n)。
卡特兰数公式
令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式:h(n)= h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2) + … +h(n-1)h(0) (n>=2)
另类递推式[2]:h(n)=h(n-1)
(4
n-2)/(n+1);
递推关系的解为:h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)
递推关系的另类解为:h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,…)
可以利用卡特兰数解决的常见问题:
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?
在n
n的格子中,只在下三角行走,每次横或竖走一格,有多少中走法?
将一个凸n+2边形区域分成三角形区域的方法数?
圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?

卡塔兰数代码:

#include 
#include
int a[105][1000];//大数运算 
int b[105]; //储存对应卡特兰数有多少位 
void catalan() //求卡特兰数
{
     
    int i, j, len, carry, temp;
    a[1][0] = b[1] = 1;
    len = 1;
    for(i = 2; i <= 100; i++)
    {
     
        for(j = 0; j < len; j++) //乘法
        a[i][j] = a[i-1][j]*(4*(i-1)+2);
        carry = 0;
        for(j = 0; j < len; j++) //处理相乘结果
        {
     
            temp = a[i][j] + carry;
            a[i][j] = temp % 10;
            carry = temp / 10;
        }
        while(carry) //进位处理
        {
     
            a[i][len++] = carry % 10;
            carry /= 10;
        }
        carry = 0;
        for(j = len-1; j >= 0; j--) //除法
        {
     
            temp = carry*10 + a[i][j];
            a[i][j] = temp/(i+1);
            carry = temp%(i+1);
        }
        while(!a[i][len-1]) //高位零处理
        len --;
        b[i] = len;
    }
}
int main() {
     
	catalan();
	for(int i=1;i<=100;i++)
	{
     
		for(int j=b[i]-1;j>=0;j--)
		{
     
			printf("%d",a[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}

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