矩阵/向量的范数

来自吴恩达 深度学习 第二周作业第一部分和三位图灵奖获得者的著作花书《Deep Learning》。

# GRADED FUNCTION: normalizeRows
import numpy as np

def normalizeRows(x):
    """
    Implement a function that normalizes each row of the matrix x (to have unit length).
    
    Argument:
    x -- A numpy matrix of shape (n, m)
    
    Returns:
    x -- The normalized (by row) numpy matrix. You are allowed to modify x.
    """
    
    ### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
    # Compute x_norm as the norm 2 of x. Use np.linalg.norm(..., ord = 2, axis = ..., keepdims = True)
    x_norm = np.linalg.norm(x, axis=1, keepdims = True)

    x = x / x_norm

    return x

其中ord指定范数的阶数。

范数简述

我们知道距离的定义是一个宽泛的概念，只要满足非负、自反、三角不等式就可以称之为距离。

范数是一种强化了的距离概念，它在定义上比距离多了一条数乘的运算法则。有时候为了便于理解，我们可以把范数当作距离来理解。

即表示一种到坐标原点距离的度量。

例如：二阶范数(也称L2范数)是最常见的范数，即欧几里得距离。

$L^p$norm

$$||x|{|}_p=(\sum _i(x_i{)}^p{)}^{\frac{1}{p}}$$

更加严谨的定义：

范数即为满足以下三个性质的函数：

• $f(x)=0\Rightarrow x=0$
• $f(x+y)\le f(x)+f(y)$ (the triangle inequality)
• $\forall \alpha \in \mathbb{R},f(\alpha x)=|\alpha |f(x)$

Euclidean norm $L^{2}norm$

$$||x|{|}_2=\sqrt{(\sum _i(x_i{)}^2)}$$

当$p=2$时，$L_2$范数被称为欧几里得范数（Euclidean norm）。它表示从原点出发到向量x 确定的点的欧几里得距离。$L_2$范数在机器学习中出现地十分频繁，经常简化表示为$\Vert x\Vert$，略去了下标2。平方$L_2$范数也经常用来衡量向量的大小，可以简单地通过点积$x^{\top }x$ 计算。
平方$L_2$ 范数在数学和计算上都比$L_2$范数本身更方便。例如，平方$L_2$范数对x 中每个元素的导数只取决于对应的元素，而$L_2$范数对每个元素的导数却和整个向量相关。但是在很多情况下，平方$L_2$ 范数也可能不受欢迎，因为它在原点附近增长得十分缓慢。

$L_1$ norm

在某些机器学习应用中，区分恰好是零的元素和非零但值很小的元素是很重要的。在这些情况下，我们转而使用在各个位置斜率相同，同时保持简单的数学形式的函数：$L_1$ 范数。$L_1$范数可以简化如下:
$$||x_1||=\sum _i{x}_i$$
当机器学习问题中零和非零元素之间的差异非常重要时，通常会使用$L_1$范数。每当x 中某个元素从0 增加ϵ，对应的$L_1$范数也会增加ϵ。

$L_0$ norm

有时候我们会统计向量中非零元素的个数来衡量向量的大小。有些作者将这种函数称为"$L_0$ 范数"，但是这个术语在数学意义上是不对的。向量的非零元素的数目不是范数，因为对向量缩放$\alpha$倍不会改变该向量非零元素的数目。因此，$L_1$ 范数经常作为表示非零元素数目的替代函数。

$L_{\infty }$

另外一个经常在机器学习中出现的范数是 $L_{\infty }$范数，也被称为最大范数（maxnorm）。这个范数表示向量中具有最大幅值的元素的绝对值：
$$||x_{\infty }||=ma{x}_i|x_i|$$

Frobenius norm

有时候我们可能也希望衡量矩阵的大小。在深度学习中，最常见的做法是使用Frobenius 范数（Frobenius norm）,
$$||A|{|}_F=\sqrt{\sum _{i,j}{A}_{i,j}^2}$$
其类似于向量的$L_2$范数。

点积使用范数来表示

两个向量的点积（dot product）可以用范数来表示。具体地，
$$x^{\top }y=||x|{|}_2||y|{|}_{2}cos\theta$$
其中$\theta$表示x和y之间的夹角。

参考资料

http://www.deeplearningbook.org/