剑指offer-7 -- 斐波那契数列 - C++

题目描述

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1

示例 2：

输入：n = 5
输出：5

提示：0 <= n <= 100

方法一：递归

题目分析，斐波那契数列公式为：f[n] = f[n-1] + f[n-2], 初始值f[0]=0, f[1]=1，目标求f[n]

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if(n == 0 || n == 1)
            return n;
        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }
};

优点，代码简单好写，缺点：慢，会超时
时间复杂度：O(2^n)
空间复杂度：O(n) 递归栈的空间

方法二：动态规划

用一个数组把计算过程保存下来，就不需要做太多的重复运算

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        vector dp(n+1, 0);
        dp[1] = 1;
        for(int i=2; i<=n; i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

继续优化

发现计算f[5]的时候只用到了f[4]和f[3], 没有用到f[2]...f[0],所以保存f[2]..f[0]是浪费了空间。
只需要用3个变量即可。

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if(n == 0 || n == 1)
            return n;
        int a = 0, b = 1, c;
        for(int i=2; i<=n; i++){
            c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
        return c;
    }
};

时间复杂度：O（n）
空间复杂度：O（1）