仿射密码

仿射密码是一种替换密码,利用加密函数一个字母对一个字母的加密。

加密函数:E(x) = (ax + b) (mod m),其中

  • a和m互质
  • m是字母的数量

解密函数:D(x) = a-1(x - b) (mod m),其中a-1是a在Zm群的乘法逆元。

仿射密码 为单表加密的一种,字母系统中所有字母都藉一简单数学方程加密,对应至数值,或转回字母。 其仍有所有替代密码之弱处。所有字母皆借由方程E(x) = (ax + b) (mod m)加密,b 为移动大小。

 

加密与解密

加密

以加密函数E(x) = (5x + 8) (mod 26)为例,以字母表26个字母作为编码系统

 

明文 A F F I N E C I P H E R
x 0 5 5 8 13 4 2 8 15 7 4 17
5x+8
8 33 33 48 73 28 18 48 83 43 28 93
mod 26
8 7 7 22 21 2 18 22 5 17 2 15
密文 I H H W V C S W F R C P

对应的加密结果为:IHHWVCSWFRCP

解密

在已知a = 5,m = 26的情况下,我们需要求a关于模m的逆元,得到a-1 = 21

因此解密函数为:D(x) = 21(x - 8) (mod 26)

 

密文 I H H W V C S W F R C P
y
8 7 7 22 21 2 18 22 5 17 2 15
21(y8)
0 -21 -21 294 273 -126 210 294 -63 189 -126 147
mod 26
0 5 5 8 13 4 2 8 15 7 4 17
明文 A F F I N E C I P H E R

 

 

脚本

使用字母表加密解密的脚本:

# -*- coding:utf-8 -*-

import string

letters = string.ascii_letters

def encode(plaintext, a, b):
    encode_str = ''
    for s in plaintext:
        if s in letters:
            n = letters.find(s) % 26
            y = (a * n + b) % 26
            if s.isupper():
                y = y + 26
            encode_str += letters[y]
        else:
            encode_str += s
    return encode_str

def ext_euclid(a, m):
    if m == 0:
        return 1, 0
    else:
        x, y = ext_euclid(m, a % m)
        x, y = y, (x - (a // m) * y)
        return x,y

def decode(encodes, a, b):
    decode_str = ''
    x = ext_euclid(a,26)
    a = x[0]
    if a < 0:
        a = a + 26
    for s in encodes:
        if s in letters:
            n = letters.find(s) % 26
            y = a * (n - b) % 26
            if s.isupper():
                y += 26
            decode_str += letters[y]
        else:
            decode_str += s
    return decode_str

if __name__ == '__main__':
    plaintext = 'AFFINE CIPHER'
    a = 5
    b = 8
    s = encode(plaintext,a,b)
    print ("加密:"+ s)
    d = decode(s, a, b)
    print ("解密:" + d)

 仿射密码_第1张图片

 

破解

首先,我们可以看到的是,仿射密码对于任意两个不同的字母,其最后得到的密文必然不一样,所以其也具有最通用的特点。当密文长度足够长时,我们可以使用频率分析的方法来解决。

其次,我们可以考虑如何攻击该密码。可以看出当a=1时,仿射加密是凯撒加密。而一般来说,我们利用仿射密码时,其字符集都用的是字母表,一般只有 26 个字母,而不大于 26 的与 26 互素(1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25)的个数一共有

 Φ(26) = Φ(2) x Φ(13) = 12

算上b的偏移可能,一共有可能的密钥空间大小也就是

12 x 26 = 312

一般来说,对于该种密码,我们至少得是在已知部分明文的情况下才可以攻击。下面进行简单的分析。

这种密码由两种参数来控制,如果我们知道其中任意一个参数,那我们便可以很容易地快速枚举另外一个参数得到答案。

但是,假设我们已经知道采用的字母集,这里假设为 26 个字母,我们还有另外一种解密方式,我们只需要知道两个加密后的字母 y1,y2即可进行解密。那么我们还可以知道

y1 = (ax1 + b) (mod 26)

y2 = (ax2 + b) (mod 26)

两式相减得

y1 - y2 = a(x1 - x2) (mod 26)

这里 y1,y2已知,如果我们知道密文对应的两个不一样的字符 x1x2 ,那么我们就可以很容易得到 a ,进而就可以得到b 了。

 

例子

TWCTF 2016的super_express

import sys
key = '****CENSORED***************'
flag = 'TWCTF{*******CENSORED********}'

if len(key) % 2 == 1:
    print("Key Length Error")
    sys.exit(1)

n = len(key) / 2
encrypted = ''
for c in flag:
    c = ord(c)
    for a, b in zip(key[0:n], key[n:2*n]):
        c = (ord(a) * c + ord(b)) % 251
    encrypted += '%02x' % c

print encrypted

加密得到:805eed80cbbccb94c36413275780ec94a857dfec8da8ca94a8c313a8ccf9

对于 flag 中的每个字母都加密了 n 次,仔细分析,我们可以发现

        ca1b1

        c2 a2c1 b2

          a1a2a2b1 b2

          kd

根据第二行的推导,我们可以得到其实 cn 也是这样的形式,可以看成 cn=xc+y​ ,并且,我们可以知道的是,key 是始终不变化的,所以说,其实这个就是仿射密码。

此外,题目中还给出了密文以及部分部分密文对应的明文,那么我们就很容易利用已知明文攻击的方法来攻击了,利用代码如下

# -*- coding:utf-8 -*-

import gmpy

key = '****CENSORED***************'
flag = 'TWCTF{*******CENSORED********}'

data = "805eed80cbbccb94c36413275780ec94a857dfec8da8ca94a8c313a8ccf9"
encrypted = [int(data[i:i + 2], 16) for i in range(0, len(data), 2)]
plaindelta = ord(flag[1]) - ord(flag[0])
cipherdalte = encrypted[1] - encrypted[0]
a = gmpy.invert(plaindelta, 251) * cipherdalte % 251
b = (encrypted[0] - a * ord(flag[0])) % 251
a_inv = gmpy.invert(a, 251)
result = ""
for c in encrypted:
    result += chr((c - b) * a_inv % 251)
print result

gmpy安装方式:点击进入

仿射密码_第2张图片

 

在线加密解密网站:https://crypto.interactive-maths.com/affine-cipher.html

 

参考

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%AF%86%E7%A2%BC

https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_cipher

https://ctf-wiki.github.io/ctf-wiki/crypto/classical/monoalphabetic-zh/

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