【数据结构】线段树（区间树）
文章目录
- 概述
- 实现
概述
线段树也称为“区间树”，它的适用场景也是很普遍的，关注的重点是“线段”，或者说是区间。非常经典的线段树题目是“区间染色”，搜搜看呗！
有的时候我们处理的数据的时候也需要进行区间的查询，比如说查询一个区间[i，j]的最大值，最小值，或者区间数字和。换成生活中的场景就是在2019年一年中，你的博客在什么时间段关注你的人增长最快啊，一天中自己的博文阅读量最高的时间段啊，某个星系中天体总量等等。这都可以是线段树的应用场景。
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一步一步理解线段树
线段树详解
线段树不是完全二叉树，但它是平衡二叉树，依然可以用数组表示。不要觉得惊讶，堆也是平衡二叉树的形式。
实现
数组的实现方式比较简单点，这里先采用数组的方式演示一下。
首先摆在我们面前的是，如果区间有n个元素的话，数组表示需要有多少节点？
想想满二叉树，最后一层的节点规律性是非常强的，
| 层数 | 节点数 |
|---|---|
| 0层 | 1 |
| 1层 | 2 |
| 2层 | 4 |
| 3层 | 8 |
| … | … |
| n-1层 | 2的(n-1)次方 |
对满二叉树：n层，一共有2的n次方-1个节点（大约是2的n次方）
最后一层（n-1层），有2的（n-1）次方个节点
最后一层的节点数大致等于前面所有层节点之和
如果区间有n个元素，n的值是2的k次方的话 只需要2n的空间
n的值是2的k次方+1的话，这也是最坏的情况 需要4n的空间
区间的元素都是放在叶子节点的。
这部分一定要动笔画画 动动笔一下子就能明白
也就是4n的空间就能放下所有的元素了（不考虑添加元素），并且实际上我们的线段树还不一定是满二叉树的形式，这里为了方便当成满二叉树处理的，不是满二叉树的话浪费的空间会更多了，但是拿一些空间换时间也是值得的。
线段树的叶子节点的组合是要针对具体的业务场景的,所以这里创建一个接口 具体的实现还是看自己
public interface Merger<E> {
E merge(E a, E b);
}
下面实现线段树的创建 区间查询 与更新
public class SegmentTree<E> {
private E[] tree; //线段树数组
private E[] data; //存放传入进来的数组的副本
private Merger<E> merger; //data --> tree
//************************************************
//初始化和创建线段树
//************************************************
//构造函数中的两个参数 一个是数组 一个是合并的方案
public SegmentTree(E[] arr, Merger<E> merger){
this.merger = merger;
data = (E[])new Object[arr.length];
for(int i = 0 ; i < arr.length ; i ++)
data[i] = arr[i];
tree = (E[])new Object[4 * arr.length];
//三个参数，树根节点的索引 左右端点
buildSegmentTree(0, 0, arr.length - 1);
}
// 在treeIndex的位置创建表示区间[left...right]的线段树
private void buildSegmentTree(int treeIndex, int left, int right){
if(left == right){
tree[treeIndex] = data[left];
return;
}
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex); //获取左孩子的节点
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex); //获取右孩子的节点
// int mid = (left + right) / 2;
int mid = left + (right - left) / 2; //分支
buildSegmentTree(leftTreeIndex, left, mid);
buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, right);
//之所以用merge 是由具体的业务逻辑决定的 可以是加等 需要自己定义
tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
}
public int getSize(){
return data.length;
}
public E get(int index){
if(index < 0 || index >= data.length)
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
return data[index];
}
// 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
private int leftChild(int index){
return 2*index + 1;
}
// 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
private int rightChild(int index){
return 2*index + 2;
}
//************************************************
//查询
//************************************************
// 返回区间[queryL, queryR]的值
public E query(int queryL, int queryR){
//做基本的边界检查
if(queryL < 0 || queryL >= data.length ||
queryR < 0 || queryR >= data.length || queryL > queryR)
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR);
}
// 在以treeIndex为根的线段树中[l...r]的范围里，搜索区间[queryL...queryR]的值
private E query(int treeIndex, int left, int right, int queryL, int queryR){
if(left == queryL && right == queryR)
return tree[treeIndex];
int mid = left + (right - left) / 2;
// treeIndex的节点分为[l...mid]和[mid+1...r]两部分
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
//简化递归 只递归一边
if(queryL >= mid + 1)
return query(rightTreeIndex, mid + 1, right, queryL, queryR);
else if(queryR <= mid)
return query(leftTreeIndex, left, mid, queryL, queryR);
//当无法简化递归时 两边都要递归
E leftResult = query(leftTreeIndex, left, mid, queryL, mid);
E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, right, mid + 1, queryR);
return merger.merge(leftResult, rightResult); //找到后 开始合并
}
//************************************************
//更新
//************************************************
public void set(int index, E e){
//做基本的检查
if(index < 0 || index >= data.length)
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal");
data[index] = e;
set(0, 0, data.length - 1, index, e);
}
// 在以treeIndex为根的线段树中更新index的值为e
private void set(int treeIndex, int left, int right, int index, E e){
if(left == right){
tree[treeIndex] = e;
return;
}
int mid = left + (right - left) / 2;
// treeIndex的节点分为[l...mid]和[mid+1...r]两部分
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
if(index >= mid + 1)
set(rightTreeIndex, mid + 1, right, index, e);
else // index <= mid
set(leftTreeIndex, left, mid, index, e);
tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
}
//************************************************
//打印输出
//************************************************
@Override
public String toString(){
StringBuilder res = new StringBuilder();
res.append('[');
for(int i = 0 ; i < tree.length ; i ++){
if(tree[i] != null)
res.append(tree[i]);
else
res.append("null");
if(i != tree.length - 1)
res.append(", ");
}
res.append(']');
return res.toString();
}
}
线段树也可以扩展为二维线段树（矩阵）
还有动态线段树（采用链式），解决了空间的浪费，而且可以实现自定义左右分支的元素的数量。
区间操作相关还有另外一个重要数据结构–树状数组（Binary Index Tree），除此之外还有RMQ.等，有兴趣都可以搜搜呗！