Hough变换检测原理

1.前言

霍夫变换(Hough Transform)是图像处理中的一种特征提取技术，它通过一种投票算法检测具有特定形状的物体。该过程在一个参数空间中通过计算累计结果的局部最大值得到一个符合该特定形状的集合作为霍夫变换结果。霍夫变换于1962年由Paul Hough 首次提出，后于1972年由Richard Duda和Peter Hart推广使用，经典霍夫变换用来检测图像中的直线，后来霍夫变换扩展到任意形状物体的识别，多为圆和椭圆。
霍夫变换运用两个坐标空间之间的变换将在一个空间中具有相同形状的曲线或直线映射到另一个坐标空间的一个点上形成峰值，从而把检测任意形状的问题转化为统计峰值问题，本文介绍hough变换检测直线、圆的原理。

2.Hough直线检测

2.1直线表示

对于平面中的一条直线，在笛卡尔坐标系中，常见的有点斜式，两点式两种表示方法。然而在hough变换中，考虑的是另外一种表示方式：使用（r,theta）来表示一条直线。其中r为该直线到原点的距离，theta为该直线的垂线与x轴的夹角。如下图所示：

2.2hough变换来检测直线的思想

使用hough变换来检测直线的思想就是：为每一个点假设n个方向的直线，通常n=180，此时检测的直线的角度精度为1°，分别计算这n条直线的（r,theta）坐标，得到n个坐标点。如果要判断的点共有N个，最终得到的（r,theta）坐标有N*n个。有关这N*n个（r,theta）坐标，其中theta是离散的角度，共有180个取值。
最重要的地方来了，如果多个点在一条直线上，那么必有这多个点在theta=某个值theta_i时，这多个点的r近似相等于r_i。也就是说这多个点都在直线（r_i,theta_i）上。

下面拿个例子说明： 
如果空间中有3个点，如何判断这三个点在不在一个直线上，如果在，这条直线的位置为：

这个例子中，对于每个点均求过该点的6条直线的（r,theta）坐标，共求了3*6个（r,theta）坐标。可以发现在theta=60时，三个点的r都近似为80.7，由此可判定这三个点都在直线（80.7，60）上。
通过 r0theta 坐标系可以更直观表示这种关系，如下图：图中三个点的（r,theta）曲线汇集在一起，该交点就是同时经过这三个点的直线。 

通过 r*theta 坐标系可以更直观表示这种关系，如下图：图中三个点的（r,theta）曲线汇集在一起，该交点就是同时经过这三个点的直线：

2.3实际应用

在实际的直线检测情况中，如果超过一定数目的点拥有相同的（r,theta）坐标，那么就可以判定此处有一条直线。在r*theta 坐标系图中，明显的交汇点就标示一条检测出的直线。

如图，可以判定出平面上的点共构成了两条直线，即检测出两条直线。

3.Hough圆检测

继使用hough变换检测出直线之后，顺着坐标变换的思路，提出了一种检测圆的方法。

3.1如何表示一个圆？

与使用（r,theta）来表示一条直线相似，使用（a,b,r）来确定一个圆心为（a,b）半径为r的圆。
某个圆过点（x1,y1），则有：(x1-a1)^2 + (y1-b1)^2 = r1^2 。
那么过点（x1,y1）的所有圆可以表示为（a1(i),b1(i),r1(i)），其中r1∈（0，无穷），每一个 i 值都对应一个不同的圆，（a1(i),b1(i),r1(i)）表示了无穷多个过点（x1,y1）的圆。

3.2 如何确定多个点在同一个圆上？

如3.2中说明，过点（x1,y1）的所有圆可以表示为（a1(i),b1(i),r1(i)），过点（x2,y2）的所有圆可以表示为（a2(i),b2(i),r2(i)），过点（x3,y3）的所有圆可以表示为（a3(i),b3(i),r3(i)），如果这三个点在同一个圆上，那么存在一个值（a0,b0,r0），使得 a0 = a1(k)=a2(k)=a3(k) 且b0 = b1(k) = b2(k) = b3(k) 且r0=r1(k)=r2(k)=r3(k)，即这三个点同时在圆（a0,b0,r0)上。
从下图可以形象的看出：

首先，分析过点（x1,y1）的所有圆（a1(i),b1(i),r1(i)），当确定r1(i)时 ，（a1(i),b1(i)）的轨迹是一个以（x1,y1,r1(i)）为中心半径为r1(i)的圆。那么，所有圆（a1(i),b1(i),r1(i)）的组成了一个以（x1,y1,0）为顶点，锥角为90度的圆锥面。
三个圆锥面的交点A 既是同时过这三个点的圆。

4.参考文章

[1]http://blog.163.com/yuyang_tech/blog/static/21605008320130233343990/

[2]http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/3805594.html