最短路+差分约束

dijikstra不能求最长路

spfa求最短路可以判断负环，求最长路可以判断正环

差分约束系统详解（解释为什么要设置超级源点，判断连通性

差分约束介绍

POJ 1364 King(非连通图的差分约束，经典好题)

再卖菜csdn

SPFA(shortest path fast algorithm)及差分约束

参考链接（夜深人静写算法）

spfa求最短路/最长路数据结构及代码

//SPFA求最短路+记录路径+判断负圈
struct edge{
  int from,to,cost;  
};

vector > graph;
bool inqueue[MAX_N];   //记录该节点是否在队列中
int visitcount[MAX_N];//记录节点的入队次数,判断负权圈时要用到,若某节点的该次数>n则存在负权圈
int d[MAX_N]; //记录从源点到对应点的当前最短/最长路径
int father[MAX_N];  //father[i]表示i节点最短/最长路径上的上一个节点

void SPFA(int ss)  //表示从ss节点开始求
{
    for(int i=0;i> Q;   //可以简化为queue Q，只将节点序号放入队列中
    Q.push(make_pair(d[ss],ss));
    while(!Q.empty())
    {
        pair tem=Q.top();
        int dist=tem.first;
        int node=tem.second;
        Q.pop();
        inqueue[node]=false;
        //visitcount[]的更新在出队时进行,保证每个队列中的节点都能更新visitcount
        if(visitcount[node]++>MAX_N)//有负权圈，直接退出算法
            return; 
        for(int j=0;j

差分约束定义

如若一个系统由n个变量和m个不等式组成，并且这m个不等式对应的系数矩阵中每一行有且仅有一个1和-1，其它的都为0，这样的系统称为**差分约束( difference constraints )**系统。之所以能用spfa处理差分约束问题，是因为能从差分约束的不等式组中建立图的模型。

差分约束的经典应用：

1.线性约束

**【例题】**N个人编号为1-N，并且按照编号顺序排成一条直线，任何两个人的位置不重合，然后给定一些约束条件。

​ X(X <= 100000)组约束Ax Bx Cx(1 <= Ax < Bx <= N)，表示Ax和Bx的距离不能大于Cx。

​ Y(X <= 100000)组约束Ay By Cy(1 <= Ay < By <= N)，表示Ay和By的距离不能小于Cy。

​ 如果这样的排列存在，输出1-N这两个人的最长可能距离，如果不存在，输出-1，如果无限长输出-2。**

2.区间约束

**【例题】**给定n（n <= 50000）个整点闭区间和这个区间中至少有多少整点需要被选中，每个区间的范围为[ai, bi]，并且至少有ci个点需要被选中，其中0 <= ai <= bi <= 50000，问[0, 50000]至少需要有多少点被选中。

​ 例如3 6 2 表示[3, 6]这个区间至少需要选择2个点，可以是3,4也可以是4,6（总情况有 C(4, 2)种 ）。**

3、未知条件约束（待看

​ 未知条件约束是指在不等式的右边不一定是个常数，可能是个未知数，可以通过枚举这个未知数，然后对不等式转化成差分约束进行求解。

​ **【例题】**在一家超市里，每个时刻都需要有营业员看管，R(i) (0 <= i < 24)表示从i时刻开始到i+1时刻结束需要的营业员的数目，现在有N(N <= 1000)个申请人申请这项工作，并且每个申请者都有一个起始工作时间 ti，如果第i个申请者被录用，那么他会连续工作8小时。

现在要求选择一些申请者进行录用，使得任何一个时刻i，营业员数目都能大于等于R(i)。

CCF-2018-9 再卖菜

是一道隐含的差分约束题目，解释如下

设ai是第一天i商店的价格，bi为第二天i商店的价格

bellman-ford

struct edge { int from,to,cost;}

edge es[MAX_N];   //该算法以 边集 为数据基础  

int d[MAX_N];  //记录最短距离
int count[MAX_N];  //记录节点的松弛次数
int V,E;  //节点数，边数

bool shortest_path(int s){
    memset(count,o,sizeof(count));
    for(int i=0;i=MAX_N)  //N个节点，每个节点最多松弛N-1次
                    return false;  //有负圈
            }
        }
        if(!update)  //不再更新说明已经找到所有最短路径
            return true;
    }
}//bellman-ford 的改进方法就是spfa

Dijkstra+优先队列

//使用矩阵dijkstra的复杂度为O（V^2），使用邻接表+优先队列复杂度为O（V*logE）
struct edge{
    int from, to cost;
}

typedef pair P;  //first为最短距离，second为节点编号
bool operator<(const P& p1,const P& p2)
{
    return p1.first>=p2.first;
}

int V;
vector > graph(MAX_N);
int d[MAX_N];

void dijkstra(int s){
    priority
 pq;
   	memset(d,127,sizeof(d));  //INF
    d[s]=0;
    pq.push(make_pair(0,s));
    
    whlie(!pq.empty())
    {
        P tep=pq.top(); pq.pop();
        int v=tep.second;
        //队首元素是队列中最小的，但若不能松弛该节点，此时该队首元素没用（对于已经找到最小路径的节点，即使到它的另外一条路现在是队列中的最小值，也没用）
        if(d[v]d[e.from]+e.cost)
            {
                d[e.to]=d[e.from]+e.cost;   //d[]存的就是临时最短路径
                pq.push(make_pair(d[e.to],e.to));
                //放入队列中的都是由当前最短距离 增加一条边的联系得来的
            }
        }
    }
}

dij+堆链接

priority_queue默认是最大的元素在队头（大顶堆）

自定义排序方式的重载： 链接 sort运算符重载

//类（结构体）的方式
struct cmp{
  bool operator ()(const int& a,const int &b){
      return a>b;
  }  
};
//在类中重载运算符<（不能在类外直接重载，除非加友元(比较麻烦所以不推荐)
struct Person{
    int id;
    bool operator <(const Person& b){
    return this->b->id;
	}
};

//定义函数
bool compare(const int& a,const int& b){
    return a>b;
}
//或者 使用less或者greater对基本类型排序。

//对于sort推荐用函数compare方式，对于priority_queue一般用结构体方式
sort(arr,arr+n;compare);
sort(arr,arr+n,cmp());  //注意sort用结构体方式要cmp()
sort(arr,arr+n,greater<int>());  //注意要加(),是递减排序

priority_queue<int,vector<int>,cmp>;  //pq用结构体方式直接cmp
priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> //greater<>不用加(),最小堆
    
//可以发现相同的比较函数用于sort和pq是“相反的顺序”（递增-最大堆，递减-最小堆)

FLOYD算法

Floyd-Warshall算法的原理是动态规划

要将节点先编号1~n，$D_{i,j,k}$表示i->j 只经过1~k节点（中的若干任意节点）得到的最短路径值。

再分k节点是否在这条最短路上，有两种情况，根据这两种情况推出$D_{i,j,k-1}$ 的关系式，之后就可以用DP

时间复杂度为O(n^{3),空间复杂度为O(n}2)