离散增量式PID算法快速扫盲（过程推导+C语言程序）

简易PID算法的快速扫盲（超详细+过程推导+C语言程序）

在之前一篇博客中简单介绍了PID算法的基本原理和位置式算法的实现过程，由于部分推导过程已经在上一篇文章做过介绍，所以推导过程本文不再赘述，重点将对离散增量式PID的算法进行实现。

1 什么是增量式PID?

先看一下增量式PID的离散公式如下：
$$\Delta u(k)=K_p(e(k)-e(k-1))+K_{i}e(k)+K_d(e(k)-2e(k-1)+e(k-2))$$

$K_p$：比例系数
$K_i$：积分系数
$K_d$：微分系数
$e(k)$：偏差

对于所谓的位置式，增量式的算法，这两者只是在算法的实现上的存在差异，本质的控制上对于系统控制的影响还是相同，单纯从输入和输出的角度来比较，具体如下表所示；

	位置式PID	增量式PID
输入	$e(k)$	$e(k),e(k-1),e(k-2)$
输出	$u(k)$	$u(k-1)+\Delta u(k)$

这里简单的说明一下；

• 位置式：位置式算法较为简单，直接输入当前的偏差 $e(k)$，即可得到输出$u(k)$；
• 增量式：增量式算法需要保存历史偏差，$e(k-1)，e(k-2)$，即在第$k$次控制周期时，需要使用第$k-1$和第$k-2$次控制所输入的偏差，最终计算得到 $\Delta u(k)$，此时，这还不是我们所需要的PID输出量；所以需要进行累加；
  $$u(k)=u(k-1)+\Delta u(k)$$
  不难发现第一次控制周期时，即$k=1$时；
  $$u(k)=u(0)+\Delta u(k)$$
  由以上公式我们可以推导出下式；
  $$u(k-1)=\sum _{i=1}^{k-1}\Delta u(i)$$

所以可以看出，最终PID的输出量$u(k)$，满足以下公式；
$$u(k)=\sum _{i=1}^k\Delta u(i)$$

可见增量式算法，就是所计算出的PID增量的历史累加和；

2 举个例子

2.1 位置式PID

下面从一个简单的例子中去理解一下增量式PID，这里依然举一个不是很恰当的例子；
如果是位置式PID算法的话：

• 隆哥对一个直流电机进行调速，设定了转速为 1000；
• 这时由于反馈回来的速度和设定的速度偏差为 $e_k$；
• 经过位置式PID计算得到$u(k)$；
• $u(k)$作为Process的输入值（可以是PWM的占空比），最终Process输出相应的PWM驱动直流电机；
• 反馈装置检测到电机转速，然后重复以上步骤；

整体框图如下所示；

2.2 增量式PID

对于增量式PID来说；

• 隆哥对一个直流电机进行调速，设定了转速为 1000；
• 这时由于反馈回来的速度和设定的速度偏差为 $e_k$，系统中保存上一次的偏差$e_{k-1}$和上上次的偏差$e_{k-2}$，这三个输入量经过增量PID计算得到$\Delta u(k)$；
• 系统中还保存了上一次的PID输出的$u(k-1)$，所以$u(k-1)$加上增量$\Delta u(k)$，就是本次控制周期的PID输出——$u(k)$；
• $u(k)$作为Process的输入值（可以是PWM的占空比），最终Process输出相应的PWM驱动直流电机；
• 反馈装置检测到电机转速，然后重复以上步骤；

整体框图如下所示；

所以这里不难发现，所谓增量式PID，它的特点有：

• 需要输入历史的偏差值；
• 计算得到的是PID输出增量，因此每一次需要累加历史增量最为当前的PID输出；

下面简单介绍一下如何实现增量式PID算法；

3 伪算法

previous02_error := 0		//上上次偏差
previous01_error := 0		//上一次偏差
integral := 0			//积分和
pid_out := 0			//pid增量累加和
//循环 
//采样周期为dt
loop:
	//setpoint 设定值
	//measured_value 反馈值
    error := setpoint − measured_value	//计算得到偏差
    proportion := error - previous01_error //计算得到比例输出
    integral := error × dt	//计算得到积分累加和
    derivative := (error − 2*previous01_error + previous02_error) / dt	//计算得到微分
    pid_delta := Kp × error + Ki × integral + Kd × derivative	//计算得到PID增量
    pid_out := pid_out + pid_delta //计算得到PID输出

    //保存当前的偏差和上一次偏差作为下一次采样所需要的历史偏差
    previous02_error := previous01_error 
    previous01_error := error			 //保存当前偏差为下一次采样时所需要的历史偏差
    wait(dt)	//等待下一次采用
    goto loop

4 C语言实现

这里直接使用了TI公司的PID算法，做了积分抗饱和；具体可以参考controlSUITE\libs\app_libs\motor_control\math_blocks\v4.2\pid_grando.h

具体代码如下所示；

pid_grando.h

/* =================================================================================
File name:       PID_GRANDO.H 
===================================================================================*/


#ifndef __PID_H__
#define __PID_H__

typedef struct {
       _iq  Ref;   			// Input: reference set-point
				  _iq  Fbk;   			// Input: feedback
				  _iq  Out;   			// Output: controller output 
				  _iq  c1;   			// Internal: derivative filter coefficient 1
				  _iq  c2;   			// Internal: derivative filter coefficient 2
				} PID_TERMINALS;
				// note: c1 & c2 placed here to keep structure size under 8 words

typedef struct {
       _iq  Kr;				// Parameter: reference set-point weighting 
				  _iq  Kp;				// Parameter: proportional loop gain
				  _iq  Ki;			    // Parameter: integral gain
				  _iq  Kd; 		        // Parameter: derivative gain
				  _iq  Km; 		        // Parameter: derivative weighting
				  _iq  Umax;			// Parameter: upper saturation limit
				  _iq  Umin;			// Parameter: lower saturation limit
				} PID_PARAMETERS;

typedef struct {
       _iq  up;				// Data: proportional term
				  _iq  ui;				// Data: integral term
				  _iq  ud;				// Data: derivative term
				  _iq  v1;				// Data: pre-saturated controller output
				  _iq  i1;				// Data: integrator storage: ui(k-1)
				  _iq  d1;				// Data: differentiator storage: ud(k-1)
				  _iq  d2;				// Data: differentiator storage: d2(k-1) 
				  _iq  w1;				// Data: saturation record: [u(k-1) - v(k-1)]
				} PID_DATA;


typedef struct {
       PID_TERMINALS	term;
				  PID_PARAMETERS param;
				  PID_DATA		data;
				} PID_CONTROLLER;

/*-----------------------------------------------------------------------------
Default initalisation values for the PID objects
-----------------------------------------------------------------------------*/                     

#define PID_TERM_DEFAULTS {				\
						   0, 			\
                           0, 			\
                           0, 			\
                           0, 			\
						   0 			\
              			  }

#define PID_PARAM_DEFAULTS {			\
                           _IQ(1.0),	\
                           _IQ(1.0), 	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(1.0),	\
                           _IQ(1.0),	\
                           _IQ(-1.0) 	\
              			  }

#define PID_DATA_DEFAULTS {			    \
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(0.0), 	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(0.0), 	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(1.0) 	\
              			  }


/*------------------------------------------------------------------------------
 	PID Macro Definition
------------------------------------------------------------------------------*/

#define PID_MACRO(v)																				\
																									\
	/* proportional term */ 																		\
	v.data.up = _IQmpy(v.param.Kr, v.term.Ref) - v.term.Fbk;										\
																									\
	/* integral term */ 																			\
	v.data.ui = _IQmpy(v.param.Ki, _IQmpy(v.data.w1, (v.term.Ref - v.term.Fbk))) + v.data.i1;		\
	v.data.i1 = v.data.ui;																			\
																									\
	/* derivative term */ 																			\
	v.data.d2 = _IQmpy(v.param.Kd, _IQmpy(v.term.c1, (_IQmpy(v.term.Ref, v.param.Km) - v.term.Fbk))) - v.data.d2;	\
	v.data.ud = v.data.d2 + v.data.d1;																\
	v.data.d1 = _IQmpy(v.data.ud, v.term.c2);														\
																									\
	/* control output */ 																			\
	v.data.v1 = _IQmpy(v.param.Kp, (v.data.up + v.data.ui + v.data.ud));							\
	v.term.Out= _IQsat(v.data.v1, v.param.Umax, v.param.Umin);										\
	v.data.w1 = (v.term.Out == v.data.v1) ? _IQ(1.0) : _IQ(0.0);									\
	
#endif // __PID_H__

example

/* Instance the PID module */ 
 
PID   pid1={
      PID_TERM_DEFAULTS, PID_PARAM_DEFAULTS, PID_DATA_DEFAULTS }; 
 
main() {
      
 
    pid1.param.Kp = _IQ(0.5);     
    pid1.param.Ki  = _IQ(0.005);    
    pid1.param.Kd = _IQ(0);      
    pid1.param.Kr  = _IQ(1.0);     
    pid1.param.Km =_IQ(1.0);     
    pid1.param.Umax= _IQ(1.0);      
    pid1.param.Umin= _IQ(-1.0); 
 
} 
 
void interrupt periodic_interrupt_isr() {
       

    pid1.Ref = input1_1;   // Pass _iq inputs to pid1 
    pid1.Fbk = input1_2;   // Pass _iq inputs to pid1   
    PID_MACRO(pid1);  // Call compute macro for pid1        
    output1 = pid1.Out;  // Access the output of pid1     
}
 

5 总结

本文简单总结了位置式PID算法和增量式PID算法的差异，参考了TI公司的增量式PID算法实现，对于不同的控制对象可以根据系统要求选择合适的PID算法；

由于作者能力和水平有限，文中难免存在错误和纰漏，请不吝赐教。