Prim（普里姆）算法求最小生成树（邻接矩阵）
一、项目功能、方案选择及性能描述：
功能：
1.列出目标系统具有的各个功能，并简述其作用
建立无向图：
输入点的数目和标识、边的数目及其权值，使用二维数组的方式建立无向图并用邻接矩阵的方式进行存储。
找出最小生成树：
从输入的起始点开始，使用Prim算法来寻找最小生成树，并输出树的结点和边。
构造辅助数组：
设置一个一维数组每寻找一个顶点，清空一次，得到最小权值的顶点下标。
画出连通图：
使用EasyX画出之前输入的无向图及标记边的权值。
演示Prim算法：
逐步演示Prim算法的寻找过程，并把得到的最小生成树用蓝色进行标记，辅以文字说明。
画出最小生成树：
对最小生成树进行重构得到MST。
2.列出目标系统计划完成的界面样式及操作
方案选择：
1、完成目标系统计划采用数据结构的逻辑结构；
数据结构：无向图——使用邻接矩阵来存储无向图。
逻辑结构：图形结构——因为图形结构的元素之间的关系是邻接的。
2、完成目标系统计划采用的存储结构。
存储结构：顺序存储结构——使用二维数组来存储邻接矩阵。
性能：
1、说明目标系统的数据处理能力。
一次只能处理一个无向图，无向图使用邻接矩阵来存储，用二维数组来实现，即无向图的顶点数目不超过10000。
2、说明目标系统的时间特性。
使用Prim算法在邻接矩阵中求最小生成树，设顶点数为n，时间复杂度为O(n²)。
响应时间：小于1ms；
更新处理时间：大约1μs；
数据的转换和传送时间：小于1μs；
运行时间：大约1μs。
二、主要开发思路、工作重点及技术路线
主要开发思路：
将项目分为三大模块：无向图模块、Prim算法模块、演示动画模块。
（1）无向图模块：
通过顶点的个数和边及其权值，使用二维数组来构造邻接矩阵，使用邻接矩阵来存储无向图，包括了顶点和边的信息的输入。
（2）Prim算法模块：
通过无向图模块得到一个邻接矩阵，使用Prim算法在邻接矩阵中找到最小生产数，并输出数的边及其两个端点，为动画演示求得结果。
（3）动画演示模块：
由邻接矩阵来画出无向图，通过Prim算法的每一步求得符合条件的顶点及边，并将其输出在画面，一步一步直到寻找到整颗完整的最小生成树。
工作重点：
Prim算法：单独使用一个数组，来存储最小权值边的顶点，来一步步求出最小生成树。
动画演示：在无向图中，根据Prim算法来一步步演示求得的顶点和边，最后得到最小生成树。
技术路线：如采用C/S模式，使用C++语言编程实现。主要涉及的技术有：MFC中各种控件，图形绘制，窗口拆分，自定义消息，线程同步，数据共享锁等。
使用C++语言编程实现。
主要涉及的技术有：EasyX的图片读取、窗口定义、图形绘制等；多函数的互相调用，宏定义等。
开发环境及工具：
系统核心算法采用Visual Studio开发平台，界面采用EasyX来进行动画演示。
三、软件结构设计
1、软件功能结构
2、功能模块说明
2.1 构造无向图
模块全名：void CreateUDN(MGraph *G);
初始条件：MGraph、ArcCell两个结构体为空，无向图的大小未定义。
过程：输入点的数目和标识、边的数目及其权值，使用二维数组的方式建立无向图并用邻接矩阵的方式进行存储。
操作结果：定义无向图的顶点数和边数，并用邻接矩阵存储了无向图的顶点及其边的权值。
2.2 构造辅助数组：
模块全名：int minimun(MGraph G, closedge close);
初始条件：closedge a_close为空
过程：设置一个一维数组每寻找一个顶点，清空一次，得到最小权值的顶点下标。
操作结果： closedge a_close每寻找一个顶点，清空一次，得到最小权值的顶点下标
2.3 PRIM算法求最小生成树：
模块全名：void miniSpanTreePrim(MGraph G, VertexType u);
初始条件：已知起始顶点的下标，closedge a_close为空。
过程：从输入的起始点开始，使用Prim算法来寻找最小生成树，并输出树的结点和边。
操作结果：每一次得到一个最小权值边的终止顶点的下标。
2.4 画出连通图：
模块全名：void cartoon_DRAW();
初始条件：画布为空，背景为白，画线颜色为黑色。
过程：使用EasyX画出之前输入的无向图及标记边的权值。
操作结果：画出之前输入的无向图及标记边的权值。
2.5演示PRIM算法：
模块全名：void cartoon_TEXT();
初始条件：背景为白，画线颜色为蓝色，画布有无向图一个。
过程：逐步演示Prim算法的寻找过程，并把得到的最小生成树用蓝色进行标记，辅以文字说明。
操作结果：逐步演示Prim算法的寻找过程，并把得到的最小生成树用蓝色进行标记，辅以文字说明。
2.6画出最小生成树：
模块全名：void cartoon_MST();
初始条件：得到了无向图及其最小生成树权值的边和过程的文字说明。
过程：对最小生成树进行重构得到MST。
操作结果：对最小生成树进行重构得到MST。
四、数据结构设计
1、构造无向图：
数组：使用二维数组可以存储邻接矩阵，无向图可以用邻接矩阵表示，且邻接矩阵在Prim算法中寻找更加方便，可以节约空间。
定义：
typedef struct {
ARCType adj; //对于无权图，用 1 或 0 表示是否相邻；对于带权图，直接为权值
}ArcCell, AdjMatrix[MAX_SIZE][MAX_SIZE];
typedef struct {
VertexType vexs[MAX_SIZE]; //存储图中顶点数据
AdjMatrix arcs; //二维数组，记录顶点之间的关系
int vexnum, arcnum; //记录图的顶点数和边数
}MGraph;
2、构造辅助数组：
数组：使用一维数组来存储寻找的顶点的边，使用遍历寻找出权值最小的边，对应的下一个顶点。
定义：
typedef struct {
VertexType adjvex; //记录权值最小的边的起始点
ARCType lowcost; //记录该边的权值
}closedge[MAX_SIZE];
3、PrIM算法求最小生成树：
数组：利用邻接矩阵和辅助数组来求得最小生成树，从起始点开始，寻找出权值最小的边及其及其对应的点，再寻找下一个顶点
五、关键算法设计
1、PRIM算法求最小生成树算法
时间效率分析：由于使用二维数组进行逐行遍历搜索，所以是O(n²)
空间效率分析：使用二维数组和一维辅助数组来实现功能，所以是O(n+n²)
六、构造辅助算法
1、close辅助数组算法
时间效率分析：因为数组是顺序存储，需要进行遍历，所以为O(n)
空间效率分析:因为是一维数组，所以是O(n)
2、构造无向图算法
时间效率分析：因为二维数组是顺序存储，需要进行输入，所以为O(n²)
空间效率分析：因为是二维数组，所以是O(n²)
七、算法实现（源代码）
#include/*测试样例：
6,10
1
2
3
4
5
6
1,2,6
1,3,1
1,4,5
2,3,4
2,5,3
3,4,5
3,5,6
3,6,4
4,6,2
5,6,6
*/
八、项目测试
输入样例得到：
EasyX演示：
参考文献
[1] 严蔚敏,吴伟民.数据结构[M].北京:清华大学出版社,2007.
[2] [美] Stephen Prata 著，张海龙，袁国忠 译.C++ Primer Plus.人民邮电出版社.2012
[3] 算法导论. [美] Thomas H.Cormen 著，殷建平，徐云，王刚 译. 机械工业出版社.2013
[4] 深入理解计算机系统. [美] 兰德尔 E.布莱恩特（Randal E.·Bryant） 著，龚奕利，贺莲 译. 机械工业出版社. 2016