几类排列组合问题

不相邻排列问题

问题描述：现有m个人和n把椅子，椅子视为相同不进行区分，人是不同的需要区分，问在任意两个人不相邻的情况下有多少种情况？

非环状排列

如果这些椅子是一排的话，就是非环状排列。可以这样思考：先从n把椅子中去掉m-1把椅子，当人自由坐下之后再将m-1把椅子加在两人之间。故排列数为：
$$A_{n-m+1}^m$$
前提是$n+1\ge 2m$.

环状排列

如果这些椅子的摆放是首位连接的，那么这就是一个环排列的问题。此时，先要将环状问题转为非环状的问题。首先，考虑第1个人坐下后，他相邻的两个位置就不能坐了，我们把这三个椅子去掉之后，剩下的问题就是n-3把椅子坐m-1人的非环状排列问题了。在第一步中我们有n种方法，第二步中我们有$A_{n-1-m}^{m-1}$种方法。因此，总的排列数为：
$$n{A}_{n-1-m}^{m-1}$$
前提是$n\ge 2m$.

该问题是百度的一道笔试真题：