343. 整数拆分(C++)---动态规划解题

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给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

 

——题目难度:中等

 

 

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分析

既然找最大乘积，那最直观的就是把所有情况列出来，然后一一比较决定出最大值，但是不太可能对于每个数都列出所有情况再来比较，所以可以用动态规划的思想来巧妙找出每个数的最大乘积，下面来说明。

对于正整数 n，当 n >= 2时，可以拆分成至少两个正整数的和。令 k 是拆分出的第一个正整数，则剩下的部分是 n - k，n - k 可以不继续拆分，或者继续拆分成至少两个正整数的和。这里可以发现每个正整数对应的最大乘积取决于比它小的正整数对应的最大乘积，因此可以使用动态规划求解。

定义 dp[i] 表示将 i 拆分成至少两个正整数之和后，这些数的最大乘积。
那么对于每个数(i >= 2)，都枚举出其第一个正整数 k，然后比较不拆分 i - k 和拆分 i - k 的情况，以决出最大的一个，也就是比较 j * (i - j) （不拆分 i - k）和  j * dp[i - j]（拆分 i - k ），如此遍历完 k 后，可以计算出 dp[i]，然后继续往上递推即可。

边界条件和初始化为：因为 0 和 1 都不能拆分，所以设 dp[0] = dp[1] = 0，这样当比较 j * (i - j) 和  j * dp[i - j] 时，如果 i - j 不难拆分，则 较大者会等于 j * (i - j)。


-下面代码

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
		vector dp(n + 1, 0);
		for(int i = 2; i <= n; i++) {
			int curMax = 0;
			for(int j = 1; j < i; j++) {
				curMax = max(curMax, max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
			}
			dp[i] = curMax;
		}
		
		return dp[n];
    }
};

结果