椭圆曲线入门详解

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如果不知道数学上的群、循环群等概念，可以先了解ElGamal加密算法 后再回过来椭圆曲线加密

这两个算法有共通之处，都是在离散问题难解群上的加密算法，椭圆曲线是进一步的加深

首先，什么是椭圆曲线

椭圆曲线(Elliptic curve)

叫椭圆曲线只是因为方程跟椭圆的曲线积分比较相似

椭圆曲线方程可以统一为

当然还有要求

至于长什么样，绘个图看看

用matlab写了一个模拟程序，可以控制a,b变化，显示曲线的图像。

clear;clc;figure(1); a=0; b=0; h_text1=uicontrol('Style','text','String','a','Position',[50 20 50 20]); h_text1=uicontrol('Style','text','String','b','Position',[50 0 50 20]); ezplot(strcat('x+',num2str(a),'*y')); h_slider1=uicontrol('Style','slider','Position',[100 20 200 20],... 'Max',10,'Min',-10,'callback',['a=num2str(get(gcbo,''value''));',... 'ezplot(strcat(num2str(b),''+x^3+'',num2str(a),''*x-y^2''))']); %h_text2=uicontrol('Style','text','String','b'); h_slider2=uicontrol('Style','slider','Position',[100 0 200 20],... 'Max',10,'Min',-10,'callback',['b=num2str(get(gcbo,''value''));',... 'ezplot(strcat(num2str(b),''+x^3+'',num2str(a),''*x-y^2''))']);

再直观一点

（不得不说在这方面，Mathematica比Matlab要方便强力太多，用MATLAB做这个图像速度慢代码长步骤复杂效果烂）

b=0,a在[-20,20]上变动时的图像	a=-6,b在[-20,20]上变动时的图像
Plot3D[{(x^3+y*x)^0.5,-(x^3+y*x)^0.5},{x,-7,7},{y,-20,20}]	Plot3D[{(x^3-6x+y)^0.5,-(x^3-6x+y)^0.5},{x,-7,7},{y,20,-20}]

"受ElGamal密码启发，在其它离散对数问题难解的群中，同样可以构成ELGamal密码。于是人们开始寻找其它离散问题难解的群。研究发现，有限域GF（p）上的椭圆曲线的解点构成交换群，而且离散对数问题是难解的。于是可在此群上建立ELGamal密码，并称为椭圆曲线密码。"

解点交换群

为了构成加法交换群，需要定义元素、单位元、逆元素、加法

解点

设p是大于3的素数，且4a3+27b2 ≠0 mod p ，称
y^2 =x^3 +ax+b ，a,b∈GF(p)
为GF（p）上的椭圆曲线。
由椭圆曲线可得到一个同余方程：
y^2 =x^3 +ax+b mod p
其解为一个二元组，x,y∈GF(p)，将此二元组描画到椭圆曲线上便为一个点，于是又称其为解点。

单位元

引进一个无穷点O（∞,∞），简记为0，作为0元素。

O（∞,∞）＋O（∞,∞）＝0＋0＝0 。

并定义对于所有的解点P（x ，y）有

P（x ,y）+O＝O+ P（x ,y）＝P（x ,y）

逆元素

任何解点R（x ,y）的逆就是 R（x ,-y）。

加法

P（x1 ，y1）＋Q（x2 ，y2）＝R（x3 ，y3）

(提醒一下，这里的运算都是模运算，值都是整数，像除法是模逆运算)

定义s = (y_P − y_Q)/(x_P −x_Q)，即PQ线的斜率

总共3种情况

1.一般情况下 R = P + Q = (x_R, − y_R)其中

2.如果x_P = x_Q,y_P = −y_Q(包括y_P =y_Q = 0的情形)

结果R就是无穷远点0

3 尽管x_P = x_Q但y_P = y_Q ≠ 0那么R =P +P = 2P = (x_R,−y_R)有

加法的几何意义

设P和Q是椭圆曲线的两个点，则连接P和Q的直线与椭圆曲线的另一交点关于横轴的对称点即为R点。在该群中P + Q + R = 0

椭圆曲线交换群实例

对于标准方程y^2=x^3+ax+b (mod p) 设定基本参数

p=31,a=2,b=17

随便找一个在曲线上(即满足该方程)的点P=(10,13)

然后按照上面提到的公式来逐一计算2P,3P,4P.....

我用的Python来计算（调用的mod_inv是模下的除运算，代码可参看前面的文章）:

px,py=10,13 x,y=px,py a,b=2,17 p=31 for i in range(p+20): if(x==px and y==py): x3=(9*x**4-8*x*y**2+6*a*x**2+a**2)\ *mod_inv(4*y**2,p)%p y3=((3*x**2+a)*(x-x3)*mod_inv(2*y,p)-y)%p elif(x==px): x3,y3=0,0 elif(x==0 and y==0): x3,y3=px,py else: x3=(((y-py)*mod_inv(x-px,p))**2-x-px)%p y3=((y-py)*(px-x3)*mod_inv(x-px,p)-py)%p str = "%dP= (%d,%d)"%(i+2,x3,y3) print str, x,y=x3,y3

可以得到

2P= (21,19) 3P= (19,30) 4P= (27,10) 5P= (29,25) 6P= (24,1) 7P= (30,13) 8P= (22,18) 9P= (8,24) 10P= (20,11) 11P= (6,11) 12P= (23,27) 13P= (12,23) 14P= (3,22) 15P= (7,23) 16P= (1,19) 17P= (17,2) 18P= (9,12) 19P= (13,15) 20P= (5,11) 21P= (5,20) 22P= (13,16) 23P= (9,19) 24P= (17,29) 25P= (1,12) 26P= (7,8) 27P= (3,9) 28P= (12,8) 29P= (23,4) 30P= (6,20) 31P= (20,20) 32P= (8,7) 33P= (22,13) 34P= (30,18) 35P= (24,30) 36P= (29,6) 37P= (27,21) 38P= (19,1) 39P= (21,12) 40P= (10,18) 41P= (0,0) 42P= (10,13)
matlab显示一下，点的分布与顺序都是杂乱无章