最小 k 度限制生成树

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所谓最小 k 度限制生成树，就是指有特殊的某一点的度不能超过k时的最小生成树。


简单思想：设特殊的那点为v0，先把v0，删除，求出剩下连通图的所有最小生成树，假如有m棵最小生成树，那么这些生成树必定要跟v0点相连，也就是说这棵生成树的v0点至少是m度的。若m>k，条件不成立，无法找到最小 k 度限制生成树；若m<=k，则枚举m到k的所有最小生成树，即一步步将v0点的度加1，直到v0点的度为k为止，则v0点度从m到k的(k - m + 1)棵最小生成树中最小的那棵即为答案。

具体步骤：

1. 先求出最小 m 度限制生成树：原图中去掉和 V0 相连的所有边（可以事先存两个图， Ray 的方法是一个邻接矩阵，一个邻接表，用方便枚举边的邻接表来构造新图），得到 m 个连通分量，则这 m  个连通分量必须通过 v0 来连接，所以，在图 G  的所有生成树中 dT(v0)≥m 。也就是说，当 k
2. 由最小 m 度限制生成树得到最小 m+1 度限制生成树;：连接和 V0 相邻的点 v ，则可以知道一定会有一个环出现（因为原来是一个生成树），只要找到这个环上的最大权边（不能与 v0 点直接相连）并删除，就可以得到一个 m+1 度限制生成树，枚举所有和 V0 相邻点 v ，找到替换后，增加权值最小的一次替换 (当然，找不到这样的边时，就说明已经求出) ，就可以求得 m+1 度限制生成树。。如果每添加一条边，都需要对环上的边一一枚举，时间复杂度将比较高（但这个题数据比较小，所以这样也没问题，事实上，直接枚举都能过这个 题），这里，用动态规划解决。设   Best(v) 为路径 v0—v 上与 v0 无关联且权值最大的边。定义 father(v) 为 v 的父结点，由此可以得到动态转移方程： Best(v)=max(Best(father(v)),ω(father(v),v)) ，边界条件为 Best[v0]=-∞ (因为我们每次寻找的是最大边，所以 -∞ 不会被考虑) ，Best[v’]=-∞| (v0,v’)∈E(T) 。


3. 当 dT(v0)=k 时停止(即当 V0 的度为 k 的时候停止)，但不一定 k 的时候最优。

接下来说一下算法的实现：
采用并查集+ kruskal 代码量还少一点。
首先， 每个连通分量的的最小生成树可以直接用一个循环，循环着 Kruskal 求出。这里利用了联通分量间的独立性，对每个连通分量分别求最小生成树，和放在一起求，毫不影响。而且kruskral算法保证了各连通分量边的有序性。
找最小边的时候，上面讲的动态规划无疑是一种好方法，但是也可以这么做：
先走一个循环，但我们需要逆过来加边，将与v0关联的所有边从小到达排序，然后将各连通分量连接起来，利用并查集可以保证每个连通分量只有一条边与v0相连，由于边已经从小到达排序，故与每个连通分量相连的边就是每个连通分量与v0相连中的最小边。
然后求 m+1 度的最小生成树时，可以直接用 DFS ，最小生成树要一直求到 k 度，然后从中找出一个最优值。