中国剩余定理求解同余线性方程组—（互素和非互素的情况）

中国剩余定理

     中国剩余定理是中国古代求解一次同余方程组的方法，是数论中的一个重要定理。

     设m1，m2，m3，...，mk是两两互素的正整数，即gcd(mi,mj)=1，i!=j，i,j=1,2,3,...,k.

则同余方程组：

x = a1 (mod n1)

x = a2 (mod n2)

...

x = ak (mod nk)

模[n1,n2,...nk]有唯一解，即在[n1,n2,...,nk]的意义下，存在唯一的x，满足：

x = ai mod [n1,n2,...,nk], i=1,2,3,...,k。

解可以写为这种形式：

x = sigma(ai* mi*mi') mod(N)

      其中N=n1*n2*...*nk，mi=N/ni，mi'为mi在模ni乘法下的逆元。

 

中国剩余定理非互质版

    中国剩余定理求解同余方程要求模数两两互质，在非互质的时候其实也可以计算，这里采用的是合并方程的思想。下面是详细推导。

 

例

FZU1402 中国剩余定理

 #include
 #include
 #include
 using namespace std;
 typedef __int64 int64;
 int64 a[15],b[15];

 int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y)
 {
     if(b==0)
     {
         x=1,y=0;
         return a;
     }
     int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);
     int64 t = x;
     x = y;
     y = t - a/b*y;
     return d;
 }
 //求解模线性方程组x=ai(mod ni)
 int64 China_Reminder(int len, int64* a, int64* n)
 {
     int i;
     int64 N = 1;
     int64 result = 0;
     for(i = 0; i < len; i++)
         N = N*n[i];
     for(i = 0; i < len; i++)
     {
         int64 m = N/n[i];
         int64 x,y;
         Extend_Euclid(m,n[i],x,y);
         x = (x%n[i]+n[i])%n[i];
         result = (result + m*a[i]*x%N)%N;
     }
     return result;
 }

 int main()
 {
     int n;
     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
     {
         for(int i = 0; i < n; i++)
             scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]);
         printf("%I64d\n",China_Reminder(n,b,a));
     }
     return 0;
 }

 #include
 #include
 #include
 using namespace std;
 typedef __int64 int64;
 int64 a[15],b[15];

 int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y)
 {
     if(b==0)
     {
         x=1,y=0;
         return a;
     }
     int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);
     int64 t = x;
     x = y;
     y = t - a/b*y;
     return d;
 }
 //求解模线性方程组x=ai(mod ni)
 int64 China_Reminder(int len, int64* a, int64* n)
 {
     int i;
     int64 N = 1;
     int64 result = 0;
     for(i = 0; i < len; i++)
         N = N*n[i];
     for(i = 0; i < len; i++)
     {
         int64 m = N/n[i];
         int64 x,y;
         Extend_Euclid(m,n[i],x,y);
         x = (x%n[i]+n[i])%n[i];
         result = (result + m*a[i]*x%N)%N;
     }
     return result;
 }

 int main()
 {
     int n;
     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
     {
         for(int i = 0; i < n; i++)
             scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]);
         printf("%I64d\n",China_Reminder(n,b,a));
     }
     return 0;
 }

 

 

 

POJ2891 非互质版

 /**
 中国剩余定理（不互质）
 */
 #include
 #include
 #include
 using namespace std;
 typedef __int64 int64;
 int64 Mod;

 int64 gcd(int64 a, int64 b)
 {
     if(b==0)
         return a;
     return gcd(b,a%b);
 }

 int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y)
 {
     if(b==0)
     {
         x=1,y=0;
         return a;
     }
     int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);
     int64 t = x;
     x = y;
     y = t - a/b*y;
     return d;
 }

 //a在模n乘法下的逆元，没有则返回-1
 int64 inv(int64 a, int64 n)
 {
     int64 x,y;
     int64 t = Extend_Euclid(a,n,x,y);
     if(t != 1)
         return -1;
     return (x%n+n)%n;
 }

 //将两个方程合并为一个
 bool merge(int64 a1, int64 n1, int64 a2, int64 n2, int64& a3, int64& n3)
 {
     int64 d = gcd(n1,n2);
     int64 c = a2-a1;
     if(c%d)
         return false;
     c = (c%n2+n2)%n2;
     c /= d;
     n1 /= d;
     n2 /= d;
     c *= inv(n1,n2);
     c %= n2;
     c *= n1*d;
     c += a1;
     n3 = n1*n2*d;
     a3 = (c%n3+n3)%n3;
     return true;
 }

 //求模线性方程组x=ai(mod ni),ni可以不互质
 int64 China_Reminder2(int len, int64* a, int64* n)
 {
     int64 a1=a[0],n1=n[0];
     int64 a2,n2;
     for(int i = 1; i < len; i++)
     {
         int64 aa,nn;
         a2 = a[i],n2=n[i];
         if(!merge(a1,n1,a2,n2,aa,nn))
             return -1;
         a1 = aa;
         n1 = nn;
     }
     Mod = n1;
     return (a1%n1+n1)%n1;
 }
 int64 a[1000],b[1000];
 int main()
 {
     int i;
     int k;
     while(scanf("%d",&k)!=EOF)
     {
         for(i = 0; i < k; i++)
             scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]);
         printf("%I64d\n",China_Reminder2(k,b,a));
     }
     return 0;
 }