追本溯源，U型关系你用对了么？

 

原文链接：https://www.lianxh.cn/news/0b8595b806e02.html

 

目录

1. 问题背景
2. 蛛丝马迹：挖掘 “U 型” 背后的理论
3. 去伪存真：检验 “U 型” 的千层套路
4. 曲径通幽：求索“U 型”的因果推断
5. 柳暗花明：理解“U 型”的调节效应
6. 按部就班：建立“U 型”的研究“备忘录”
7. 参考文献
8. 延伸阅读

 

1. 问题背景

在经济学和管理学领域，非线性关系愈发成为学者们关注的热点，其中之一便是有关 U 型关系 的研究 (U- and inverted U-shaped relationships)。然而，看似简单的 U 型关系背后却有非常多的细节与思考。Richard et al. (2015) 回顾了 1980-2012 年在《Strategic Management Journal》(后文简称为 SMJ ) 上发表的涉及 U 型关系的 110 篇文章，发现已有文献中绝大多数存在各式各样理论机制解释 (theorizing) 和实证检验测试 (testing) 的问题。

那么正确的方式究竟是怎样的？本篇推文就循着 Richard et al. (2015) 的思路，和大家一起追本溯源，一探究竟吧。

 

2. 蛛丝马迹：挖掘 “U 型” 背后的理论

在上述 110 篇 SMJ 的文献研究中，有相当一部分文献（约 36% ）缺乏针对 U 型关系理论基础的深入探讨，例如仅停留于“过犹不及”（“too much of a good thing can be harmful”、“anything carried to the extreme can be harmful”）或者“夹在中间进退两难”（“stuck in the middle”）来解释他们观察到的倒 U 型或 U 型关系。然而这样的解释过于表面，并未深入挖掘其内在的微观机制（“burrow deeply into microprocesses”），而这对于理论的发掘和进一步调节效应的研究都是不利的。

我们以 $X$ 与 $Y$ 之间反 U 型关系为例，其典型的微观机制是由两个潜函数 (latent functions) 以叠加或者相乘的方式合力构成的。例如 Table 1 所示的三种主要情形：

• 第一种情形 比如战略管理研究中公司的业绩表现与产品开发速率的关系 (Jones,2003)，一方面收益(benefits)随着自变量线性增加，另一方面成本 (例如规模不经济、不断地品牌替换等)随自变量加速提高，导致两者之差的业绩与自变量呈现出倒 U 型关系。

• 第二种情形 比如 Chang and Park (2005) 研究企业在一定区域内的集聚 (agglomeration) 和企业进入概率的关系。一方面集聚可以提高合法性 (legitimacy) 和知识溢出效应 (knowledge spillover)，但收益是边际递减的；另一方面随着集聚程度的上升，竞争激烈程度却加速上升。两个潜函数的合力导致了倒 U 型关系。

• 第三种情形 如 Ang (2008) 研究竞争激烈程度与合作的关系，其机制是由一个正向线性的激励函数和一个负向线性的机会函数相乘导致的。对于面临相对较弱竞争强度的企业，其往往具备某种独特资源，有利于他们寻找合作机会，但他们此时合作的激励很弱，更期望维持现状，保持低竞争强度。反之，面临激烈竞争的企业更有动力去寻找合作对象，但却往往缺乏机会。两个潜函数的相乘即得到反 U 型函数关系。

因而，Richard et al. (2015) 指出深入挖掘和阐述 U 型关系背后的机制非常重要，一则是可以从理论层面加深对问题的认知，二则是为后续研究调节变量 $Z$ 如何影响该 U 型提供了理论前提。

 

3. 去伪存真：检验 “U 型” 的千层套路

在研究 U 型关系时，研究者通常采用如下模型，并重点关注 ${\beta }_2$ 是否显著：
$$Y={\beta }_0+{\beta }_{1}X+{\beta }_2{X}^2+u$$
然而，单独一个显著的 ${\beta }_2$ 就足够支持 U 型关系的存在和稳健么？答案是否定的，Lind and Mehlum (2010) 提供了一个三步程序：

• 第一步，确保 ${\beta }_2$ 显著且方向和理论预期一致；
• 第二步，在自变量取值最小处和最大处，$Y$ 与 $X$ 关系的斜率必须足够陡峭，否则，$Y$ 与 $X$ 的真实关系可能只是 U 型的其中一半，甚至仅是对数或指数函数关系；
• 第三步， 转折点 $-{\beta }_1/2{\beta }_2$ 的 95% 置信区间应该需要位于自变量取值范围以内。

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