最大子段和

动态规划是一个很巧妙的算法，但是能够想得到如何用动态规划，我感觉还是有难度的。不过慢慢来，先从小的动态规划的例子开始。
现在有一个数组，请找出这个数组的最大子段和。（即 max (a[i]+a[i+1]+...+a[j]) 0<=i<=j<=n-1）

现在我们的思路是： 记s[i]为  a[0]到a[i]中包含a[i](即以a[i]为结尾)的最大子段和，则s[i]如何用s[i-1]来表示？

s[i] = s[i-1] + a[i];  s[i-1]>=0 或者

s[i] = a[i]; s[i-1]<0

所以根据s[i-1]来计算s[i]时会遇到这两种情况。计算s[i]时只用到s[i-1]和a[i]， 所以我们可以只保留s[i-1]的值，对于s[i-2]及以前的值可以不保存。

在s[i]中找最大的，就是我们的结果了。

那究竟哪一段是最大的呢。这个方法不唯一。比如，你可以用数组记录每一个s[i]，那如果s[i] = a[i]的时候，说明a[i-1]不在s[i]的计算结果中，a[i-1]就没被选择。

现在我们用一个辅助数组P来记录一下， p[i] = 1 表示 在计算s[i]时 包含了 p[i-1]; p[i] = 0 表示 p[i-1]没有被包含。这样我们就可以找到哪一个子段了。看一下下面的代码吧

 

/**
 * 动态规划:计算最大子段和
 * 算法描述:
 * 数组a 有n个元素, 记 s[i] 为从a【0】到a[i]中，包含a[i]的最大子段和
 * 则: s[i] 的值为:  s[i-1]>0时, s[i-1]+a[i]
 * 					否则 a[i]
 */
#include 

int maxSub(int *a, int n)
{
	int i=0, max=0, max_pos = 0;
	int si_1=0, si = 0;//分别记录s[i-1], 和 s[i]的值
	int *p = (int *)malloc(n*sizeof(int)); //p[i] 助于记录哪些单元被选择, p[i]=1 表示s[i]计算的结果中中使用了s[i-1]的值
	
	if (p==NULL)
		return -1;
	max = si_1 = a[0];
	p[0] = 0;
	for (i=1; imax){
			max = si;
			max_pos = i;
		}
	}

	//找到最大子段和的位置
	for (i=max_pos; i>=0; i--)
		if (p[i]==0)
			break;

	//即i..max_pos为最大子段和的元素
	printf("%d--%d:%d\n", i, max_pos, max);

	free(p);
	p = NULL;
	return max;
}

int main()
{
	int n = 10;
	int a[10] = {3, 5, 6, 10, -2, -5, 3, 5, -112, -324};

	maxSub(a, n);

	return 0;
}