Parry圆的反演

最近闲来无事，专门研究了一下Parry圆的性质，发现如果以参考三角形ABC的外接圆作为反演圆，那么Parry圆的反演就是自身。原因是：Parry圆与外接圆有两个交点，一个是Kiepert拋物线的焦点，一个是Parry点，这两个点反演后不变，另外Parry圆经过三角形的两个isodynamic点S和S'，而S和S'反演后相互变为对方，即S反演为S'，S'反演为S。因为Parry圆不经过外接圆的圆心O，所以反演后仍是一个圆。由三点决定一个圆可知，Parry圆反演后就是自身，这也是Parry圆本身的反演不变性。

由于Parry圆的反演不变性，可以推出欧拉线与Parry圆的另一个交点就是三角形ABC的重心G关于外接圆的反演点，这是因为点G在Parry圆上，反演后点G'还是在Parry圆上，而经过O和G的直线就是欧拉线，反演后的点G'和O，G是共线的。经过计算可得三角形重心关于外接圆的反演点的三线坐标：

$$\frac{a^{4}-b^{4}+b^{2} c^{2}-c^{4}}{b c}:\frac{-a^{4}+b^{4}+a^{2} c^{2}-c^{4}}{a c}:\frac{-a^{4}+a^{2} b^{2}-b^{4}+c^{4}}{a b}$$

推广到一般情况，由于经过S和S'点且圆心在Lemoine轴上的任何圆都与圆心在布洛卡(Brocard)轴上的一簇Apollonius圆正交，外接圆的圆心也在布洛卡轴上，所以外接圆与经过S和S'点且圆心在Lemoine轴上的所有圆都正交，即有两个共同的交点（而且根轴经过Lemoine点），所以圆心在Lemoine轴上的任何圆反演后都是自身，当然Parry圆也不例外。