【动态规划】输出所有的最长公共子序列

输出所有的最长公共子序列

<< 动态规划求最长公共子序列的长度

上篇讲到使用动态规划可以在 θ(mn) 的时间里求出 LCS 的长度，本文将讨论如何输出最长公共子序列。

问题描述：给定两个序列，例如 X = “ABCBDAB”、Y = “BDCABA”，求它们的最长公共子序列的长度。

下面是求解时的动态规划表，可以看出 X 和 Y 的最长公共子序列的长度为4：

输出一个最长公共子序列并不难（网上很多相关代码），难点在于输出所有的最长公共子序列，因为 LCS 通常不唯一。总之，我们需要在动态规划表上进行回溯 —— 从table[m][n]，即右下角的格子，开始进行判断：

1. 如果格子table[i][j]对应的X[i-1] == Y[j-1]，则把这个字符放入 LCS 中，并跳入table[i-1][j-1]中继续进行判断；

2. 如果格子table[i][j]对应的 X[i-1] ≠ Y[j-1]，则比较table[i-1][j]和table[i][j-1]的值，跳入值较大的格子继续进行判断；

3. 直到 i 或 j 小于等于零为止，倒序输出 LCS 。

如果出现table[i-1][j]等于table[i][j-1]的情况，说明最长公共子序列有多个，故两边都要进行回溯（这里用到递归）。

从上图的红色路径显示，X 和 Y 的最长公共子序列有 3 个，分别为 “BDAB”、“BCAB”、“BCBA”。

C++代码如下：

// 动态规划求解并输出所有LCS
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

string X = "ABCBDAB";
string Y = "BDCABA";
vector> table; // 动态规划表
set setOfLCS;      // set保存所有的LCS

int max(int a, int b)
{
	return (a>b)? a:b;
}

/** 
 * 字符串逆序
 */
string Reverse(string str)
{
	int low = 0;
	int high = str.length() - 1;
	while (low < high)
	{
		char temp = str[low];
		str[low] = str[high];
		str[high] = temp;
		++low;
		--high;
	}
	return str;
}

/** 
 * 构造表，并返回X和Y的LCS的长度
 */
int lcs(int m, int n)
{
	// 表的大小为(m+1)*(n+1)
	table = vector>(m+1,vector(n+1));

	for(int i=0; i0 && j>0)
	{
		if (X[i-1] == Y[j-1])
		{
			lcs_str.push_back(X[i-1]);
			--i;
			--j;
		}
		else
		{
			if (table[i-1][j] > table[i][j-1])
				--i;
			else if (table[i-1][j] < table[i][j-1])
				--j;
			else   // 相等的情况
			{
				traceBack(i-1, j, lcs_str);
				traceBack(i, j-1, lcs_str);
				return;
			}
		}
	}
  
	setOfLCS.insert(Reverse(lcs_str));
}


int main()
{
	int m = X.length();
	int n = Y.length();
	int length = lcs(m, n);
	cout << "The length of LCS is " << length << endl;
	string str;
	traceBack(m, n, str);
	
	set::iterator beg = setOfLCS.begin();
	for( ; beg!=setOfLCS.end(); ++beg)
		cout << *beg << endl;

	getchar();
	return 0;
}

运行结果：

Java版本的代码：

import java.util.TreeSet;

public class LongestCommonSubsequence {
	
	private String X;
	private String Y;
	private int[][] table;  // 动态规划表
	private TreeSet set = new TreeSet();
	
	/**
	 * 功能：带参数的构造器
	 */
	public LongestCommonSubsequence(String X, String Y) {
		this.X = X;
		this.Y = Y;
	}
	
	/**
	 * 功能：求两个数中的较大者
	 */
	private int max(int a, int b) {
		return (a>b) ? a:b;
	}
	
	/**
	 * 功能：构造表，并返回X和Y的LCS的长度
	 */
	private int lcs(int m, int n) {
		table = new int[m+1][n+1]; // 表的大小为(m+1)*(n+1)	
		for(int i=0; i0 && j>0) {
			if (X.charAt(i-1) == Y.charAt(j-1)) {
				lcs_str += X.charAt(i-1);
				--i;
				--j;
			}
			else {
				if (table[i-1][j] > table[i][j-1])
					--i;
				else if (table[i-1][j] < table[i][j-1])
					--j;
				else {  // 相等的情况
					traceBack(i-1, j, lcs_str);
					traceBack(i, j-1, lcs_str);
					return;
				}
			}
		}
		set.add(reverse(lcs_str));
	}
	
	/**
	 * 功能：字符串逆序
	 */
	private String reverse(String str) {
		StringBuffer strBuf = new StringBuffer(str).reverse();
		return strBuf.toString();
	}
	
	/**
	 * 功能：外部接口 —— 打印输出
	 */
	public void printLCS() {
		int m = X.length();
		int n = Y.length();
		int length = lcs(m,n);
		String str = "";
		traceBack(m,n,str);
		
		System.out.println("The length of LCS is: " + length);
		for(String s : set) {
			System.out.println(s);
		}
	}
	
	/**
	 * 功能：main方法 —— 程序的入口
	 */
	public static void main(String[] args) {
		LongestCommonSubsequence lcs = new LongestCommonSubsequence("ABCBDAB","BDCABA");
		lcs.printLCS();
	}
}

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