cf(448c)-painting fence

这是一道面试题，同时是codeforces上的c类题目。
tags:divide and conquer,dp,greedy

解决思路

首先明确

• 先需要明确每次只可能存在两种刷法，要么横着一笔，要么竖着一笔。
• 竖着刷不会存在“断开”的问题，而横着刷会存在。

思考过程

step1

因为存在横向断开的问题，也就意味着可能需要分连续横向区间处理，那么首先应该想到用递归，每一层递归找到当前木材的最低高度，比这个高度更大的木材进入下一层递归，连续大于最低高度的木材为同一个递归。看题目给的数据范围，最多5000块木板，那么如果每一层递归仅仅只少1块木材，递归深度也不会超过5000，这对于gcc或者g++编译器来说是可以容忍的。

step2(建议看了代码再来看这一部分)

实在想不出有什么规律，那么我们假设所有木材全部竖着刷，然后与所有木材横着刷做比较，谁小谁就是结果。但是问题来了，横着刷存在断开的问题，不能一次性横向全部刷完，而且可能会存在在横着刷完后后面全部竖着刷可能次数更少。那就用递归，我们就找所有的木材中最小的高度，最小高度即为横向刷墙需要的次数，接着加上剩下墙刷的次数，就为横向刷墙的次数。然后把最小高度作为分界线，得到多个连续的更高高度的新墙，然后对这些子问题进行上述相同处理。

最终思路

最后的最小次数一定小于等于全部竖着刷墙，对于横着刷墙的情况，只有把0-最小高度刷完才可能比全部竖着刷墙更小(横向刷的范围不能更高，也不能更小，只能等于最小高度才可能取得最优解，至于为什么，也很好证明)，所以我们需要讨论这种情况，这就有了分治的思想。刷完以后，我们把“基线”移到最小高度之上，这样就得到了多个连续的规模更小的新墙，这是与愿问题相同的子问题，我们需要求子问题的最优解，愿问题的最优解就包含了子问题的最优解(最优子结构)，当前的状态又是由横向刷和竖向刷两种情况中的最小值决定的。所以这道题就有了贪心、分治、动态规划思想在里面。

代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
//max re-deep is 5000,is ok 
int dfs(int* a,int l,int r,int h)
{
    if(l == r) 
        return 1;
    int min_h = *min_element(a+l,a+r+1);
    int res = min_h - h;
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        if(a[i] > min_h)
        {
            int j = i;
            while(j < r && a[j+1] > min_h ) j++;
            res += dfs(a,i,j,min_h);
            i = j;
        }
    }
    return min(res,r-l+1);
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int arr[n];
    for(int i = 0;i<n;i++)
    {
        cin >> arr[i];
    }
    cout << dfs(arr,0,n-1,0);
    return 0;
}