计算方法（三）分段线性插值和Hermite插值

分段线性插值

1. 使用分段线性插值的目的

一些插值函数列可能产生Runge现象，也就是只能在某些区间内部收敛到被插函数，在这些区间外则根本无法收敛到被插函数。

为了使得我们的插值对于任何区间都有意义，选择将整个插值区间按照节点分成若干个小区间，在每个小区间上分别使用多项式插值，这样来近似代替被插函数。

一般使用次数小于或等于3的多项式来进行分段插值，当次数为1次是就是分段线性插值。

2. 方法

直观上，分段线性插值函数是连接各个节点的折线，采用Lagrange插值基函数的方法，在每个小区间上构造基函数，再作它们的线性组合。

以下的插值基函数可以作为选择

设在区间$[a,b]$上给定$n+1$个插值节点和函数值
$$a=x_0\le x_1<x_2<\dots <x_n=b$$
$$y_0,y_1,\dots .y_n$$
构造以下插值基函数
$$l_0(x)=\{\begin{array}{lc}\frac{x-x_1}{x_0-x_1}& x_0\le x\le x_1\\ 0& x1<x\le x_n\end{array}$$
$$l_j(x)=\{\begin{array}{lc}\frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}}& x_{j-1}\le x\le x_j\\ \frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}& x_j\le x\le x_{j+1}\\ 0& [a,b]-[xj-1,x_{j+1}]\end{array}$$
$$l_n(x)=\{\begin{array}{lc}\frac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}& x_{n-1}\le x\le x_n\\ 0& x_0<x\le x_{n-1}\end{array}$$
其中$j=1,2,\dots ,n-1$
然后用这些插值基函数就可以写出分段线性插值函数的表达式
$$\phi (x)=\sum _{j=0}^n{y}_j{l}_j(x)$$

3. matlab方法

matlab的插值函数提供了线性插值的选项，y = interp1(x0,y0,x,‘linear’)返回插值节点为x0，函数值为y0,在区间x上的全部函数值。

x0 = 1:30;
y0 = 10*randn(1,30);
x = 1:0.5:30;

%分段线性插值
y2 = interp1(x0,y0,x,'linear');
plot(x0,y0,'+',x,y2,'r')
title('分段线性插值')

Hermite插值

1. Hermite插值的好处

Hermite插值又称带指定微商值的插值，也就是说，除了给出了插值节点的函数值之外，还给出了指定插值节点的导数值。Hermite插值在插值节点处取相同的函数值和导数值。

2. 方法

给出n+1个插值节点和相应的函数值，微商值

$x$	$x_0$	$x_1$	$\dots$	$x_n$
$y$	$y_0$	$y_1$	$\dots$	$y_n$
$y^{\prime }$	$y_0^{\prime }$	$y_1^{\prime }$	$\dots$	$y_n^{\prime }$

可以构造2n+1次的Hermite插值多项式$H(x)$，并且

• $H(x)$是次数不超过2n+1次的插值多项式
• $H(x_j)=y_j,H^{\prime }(x_j)=y_j^{\prime },j=0,1,\dots ,n$

采用插值基函数的办法，构造如下插值基函数
$$h_i(x)=(1+2\sum _{j\ne i}\frac{x-x_i}{x_j-x_i})l_i^2(x)$$
$$H_i(x)=l_i^2(x)(x-x_i)$$
其中$l_i(x)$是Largange插值基函数，$i=0,1,\dots ,n$
并且，$h_i(x),H_i(x)$在对应下标插值节点处取值为1，在其他节点取取值为0.
这样可以写出Hermite插值的表达式
$$H(x)=\sum _{i=0}^n(y_i{h}_i(x)+y_i^{\prime }{H}_i(x))$$

3. 分段三次Hermite插值

按照分段插值的方法，把区间$[a,b]$分为若干个区间，在每个区间上使用三次Hermite插值。
在各个节点上的插值基函数如下
$$h_0(x)=\{\begin{array}{lc}(1+2\frac{x-x_0}{x_1-x_0})(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}{)}^2& x_0\le x\le x_1\\ 0& x1<x\le x_n\end{array}$$
$$h_j(x)=\{\begin{array}{lc}(1+2\frac{x-x_j}{x_{j-1}-x_j})(\frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}}{)}^2& x_{j-1}\le x\le x_j\\ (1+2\frac{x-x_j}{x_{j+1}-x_j})(\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}{)}^2& x_j\le x\le x_{j+1}\\ 0& [a,b]-[xj-1,x_{j+1}]\end{array}$$
$$l_n(x)=\{\begin{array}{lc}(1+2\frac{x-x_{n-1}}{x_{n-1}-x_n})(\frac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}{)}^2& x_{n-1}\le x\le x_n\\ 0& x_0<x\le x_{n-1}\end{array}$$
$$H_0(x)=\{\begin{array}{lc}(x-x_0)(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}{)}^2& x_0\le x\le x_1\\ 0& x1<x\le x_n\end{array}$$
$$H_j(x)=\{\begin{array}{lc}(x-x_j)(\frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}}{)}^2& x_{j-1}\le x\le x_j\\ (x-x_j)(\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}{)}^2& x_j\le x\le x_{j+1}\\ 0& [a,b]-[xj-1,x_{j+1}]\end{array}$$
$$H_n(x)=\{\begin{array}{lc}(x-x_n)(\frac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}{)}^2& x_{n-1}\le x\le x_n\\ 0& x_0<x\le x_{n-1}\end{array}$$

matlab代码

function y=hermite(x0,y0,y1,x);
n=length(x0);m=length(x);
for k=1:m
    yy=0.0;
    for i=1:n
        h=1.0;
        a=0.0;
        for j=1:n
            if j~=i
                h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
                a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
            end
        end
    yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
    end
y(k)=yy;
end