中国剩余定理及扩展

中国剩余定理

用途

​ 中国剩余定理一般用于求解模数互质线性同余方程组。形式如下：
$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_2)\\ \dots \\ x\equiv a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_i)\\ \dots \\ x\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_n)\end{array}$$

求解方法

​ 首先设$M$为所有模数的乘积，即$\prod _{i=1}^n{b}_i$。

​ 我们构造一个$x=\sum _{i=1}^n{a}_i\cdot t_i\cdot m_i$，其中$m_i=\frac{M}{b_i}$，$t_i\cdot m_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_i)$，可以证明$x$为方程组的一个特解。证明如下：

​ 由于$m_i=\frac{M}{b_i}$，且模数均两两互质，那么其余模数必然是$b_i$的倍数。又因为$t_i\cdot m_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_i)$，所以$x\equiv a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_i)$。得证。

​ 观察$x$的构造过程，发现只有$t_i$是未知量，于是我们可以单独对于每一个方程，利用扩展欧几里得算法，求出每一个$b_i$对应的$t_i$，同时$ans$累加上$a_i\cdot t_i\cdot m_i$。

例题&代码

洛谷P1495 曹冲养猪

中国剩余定理板子题，不过代码中的数组名称与上文的描述有些区别。

洛谷P3868 [TJOI2009]猜数字

还是模板题。

//曹冲养猪
#include 
#define ll long long
#define MAXN 15
using namespace std;

int n;
ll mod[MAXN], b[MAXN], ans;

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll res = exgcd(b, a%b, x, y);
    ll t = x;
    x = y;
    y = t-a/b*y;
    return res;
}

void solve(){		//中国剩余定理 
    ll m = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        m *= mod[i];
    }
    ll x, y, mi;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        mi = m/mod[i];
        exgcd(mi, mod[i], x, y);
        ans += (mi*x*b[i]);
        ans %= m;
    }
    ans = (ans+m)%m;
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d%d", &mod[i], &b[i]);
    }
    solve();
    cout << ans << endl;
    
    return 0;
}

---

扩展中国剩余定理

用途

​ 为什么需要这样一个扩展的定理呢？很明显，中国剩余定理的描述中有一个至关重要的限制条件：模数两两互质。 然而实际上，即使模数不互质，也能对方程组进行求解。这就是扩展中国剩余定理。但实际上，除了解决的问题基本相同，扩展中国剩余定理在证明和实现上都不仅仅是“扩展”，所以XX通索性称其为扩展欧几里得解线性同余方程。

求解方法

​ 首先，我们改变一些定义，设当前正在处理第$i$个方程，则令$M$表示前$i-1$个模数的最小公倍数。令$x$为前$i-1$个方程的特解，$x^{\prime }$为所求的前$i$组方程的特解。于是对于第$i$个方程，问题转化为求一个$t$，使得$x+m\ast t\equiv a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_i)$，而$x^{\prime }=x+m\ast t$。

​ 该方程等价于$m\ast t\equiv a_i-x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_i)$，显然只有$t$是未知量于是我们就可以利用扩欧求出$t$。一直重复$n$遍，最终就可以得到方程组的解。

例题&代码

洛谷P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

真·模板题。

#include 
#define ll long long
#define MAX 100005
using namespace std;

ll n, m, ans;
ll a[MAX], b[MAX];

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
    if(!b){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll res = exgcd(b, a%b, x, y);
    ll t = x;
    x = y, y = t-a/b*y;
    return res;
}

ll mul(ll a, ll b, ll mod){
    ll res = 0, base = a;
    while(b){
        if(b&1){
            res = (res+base)%mod;
        }
        base = (base+base)%mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

ll excrt(){
    m = b[1], ans = a[1];
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        ll p = ((a[i]-ans)%b[i]+b[i])%b[i];
        ll x, y;			//mx=p (mod b[i])
        ll gcd = exgcd(m, b[i], x, y);
        if(p % gcd) return -1;
        x = mul(x, p/gcd, b[i]/gcd);
        ans += x*m;
        m *= b[i]/gcd;
        ans = (ans%m+m)%m;
    }
    return (ans%m+m)%m;
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%lld%lld", &b[i], &a[i]);
    }
    printf("%lld\n", excrt());
    
    return 0;
}

完结撒花

GL && HF!!!