极坐标变换：∫e^(-x^2)dx积分求解

1. 凑一下

设${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=I$，而且${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-y^2}dy=I$

那么 $I^2={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$

看到 $x^2+y^2$ 小小激动一下，可以极坐标变换了

2. 极坐标变换

因为积分域为直角坐标系上$x$和$y$上的$-\infty$到$\infty$，也就是整个坐标系的面积，那么换成极坐标系，$r$的范围就是$0$到$\infty$，$\theta$的范围就是$0$到$2\pi$，即

$I^2={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}rdr=\pi$

因为${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx$一定是大于0的，所以开根号后只保留正数就好了，即

$I=\sqrt{\pi }$

3. 奇偶性

因为$e^{-x^2}$是偶函数，所以如果积分域沿$y$轴对称对称

${\int }_{-\infty }^0{e}^{-x^2}dx={\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$