红黑树--原理,性质与应用

概述

红黑树是一棵二叉搜索树, 主要用在更改比查询更加频繁的地方(而二叉平衡树用在搜索比更改频繁的地方).
已经的一些性质:

1. 二叉搜索树上基本操作所花费的时间与这棵树的高度成正比.
2. 对于一棵完全二叉树, 这些操作的的最坏运行时间为O(lgn), 如果搜索二叉树退化为线性表, 则其最坏的运行时间是O(n).

退化为线性表的搜索二叉树, 其操作时间为O(n):

图(1)
一棵完全二叉树的操作时间是O(lgn):

图(2)

搜索二叉树,平衡搜索二叉树,红黑树的区别与联系

树种类	是否完全二叉树	是否自动平衡	查找性能	插入(删除)性能
搜索二叉树(BST)	否	否	不确定, 如果比较平衡, 则接近于O(lgn), 如果不平衡, 则接近O(N)	好
平衡二叉树(AVL)	是	是	很好	不太好
红黑树	否	是, 但是不会严格平衡	好	好

红黑树

二叉搜索树

二叉搜索树主要有如下性质:

1. 二叉树: 扇出(fanout)为2, 只有2个分叉.
2. 搜索性: 比如对于父节点x, 其左边子节y点一定小于父节点, 其右边子节点z一定大于父节点.

性质

红黑树是在满足二叉搜索树的基础上, 再满足如下性质:

• 每个节点要么是红色的, 要么是黑色的.
• 根结点是黑色的.
• 每个叶子节点是黑色的.
• 如果一个节点是红色的, 则它的两个子节点是黑色的.
• 对于每个节点, 从该节点到其所有的后代叶子节点的简单路径上, 均包含相同数目的黑色节点.

注意: 红黑树中, 所有子节点都是空节点, 而用户插入的节点永远不是子节点.
图(3) 一棵显示有子节点的红黑树

旋转

旋转是不改变搜索二叉树的搜索性质的. 即是旋转之后, 对于任意节点X, 其左子节点Y的值小于父节点X的值, 节点X的右子节点Z的值一定大于等于其父节点X的值.
旋转的目的是改变树的高度, 增加树的操作性能.
我们可以得知如下信息:

1. 旋转是发生在搜索二叉树父节点和子节点之间的.
2. 旋转之后搜索二叉树还是具有搜索性质.
3. 旋转一般用作降低二叉树的高度, 提高在树上的集合操作的性能.
4. 旋转是以父子两个节点的链接线为支轴的.

参考

• <<算法导论>>第12章, 13章