【BZOJ4422】Cow Confinement【扫描线】【差分】【线段树】
题意
一个 1 0 6 10^6 106行 1 0 6 10^6 106列的网格图，上面有一些牛、花和一些矩形围栏，围栏在格子的边界上，牛和花在格子里，牛只能向下或向右走，不能穿过围栏和地图边界，求每头牛它能到达的花的数量。（栅栏不会相交）
题解
暴力
首先，可以想出一个很显然的dp，设 d p i , j dp_{i,j} dpi,j表示方格 ( i , j ) (i,j) (i,j)能到达的花数。要分类讨论，前三种情况很简单，再次不赘述，特别地，有一种情况不能忽略，如下图：（红色范围为栏杆，蓝色为当前格）
如果 d p i , j = d p i + 1 , j + d p i , j + 1 dp_{i,j}=dp_{i+1,j}+dp_{i,j+1} dpi,j=dpi+1,j+dpi,j+1，会发现黑色部分重复计算，需要减去围栏左下角的 d p dp dp值。
时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，需要优化
优化
我们发现除了有围栏遮挡的情况外，当前状态的更新都用到 d p i + 1 , j dp_{i+1,j} dpi+1,j和 d p i , j + 1 dp_{i,j+1} dpi,j+1，可以考虑差分：
我们可以按 y y y从大往小扫描线，维护数组 f i f_i fi，表示第y列中（注意题目中的y是横坐标） d p i , y − d p i + 1 , y dp_{i,y}-dp_{i+1,y} dpi,y−dpi+1,y的值。可以画个图帮助理解：
如上图 f 1 f_1 f1统计范围是蓝色部分， f 2 f_2 f2也是它对应的横条， f 3 f_3 f3统计围栏内，而 f 4 f_4 f4则统计黄色部分，一个“7”形。
这样，要统计某一头牛 ( x , y ) (x,y) (x,y)能到达的花，只需找出第一个挡住它的围栏横坐标（R），答案就是 ∑ x ≤ i ≤ R f i \sum_{x\leq i\leq R}f_i ∑x≤i≤Rfi
现在问题是当扫描完一条线， y y y值减一时，如何维护 f i f_i fi？同样要分类讨论。
1.遇到花，直接在对应位置把 f i f_i fi加一即可
2.遇到牛，更新答案
3.遇到栏杆的开始：设栏杆纵坐标为 y y y，横坐标范围为 l l l到 r r r。首先需要把 f l − 1 f_{l-1} fl−1加上旧的 ∑ l ≤ i ≤ r f i \sum_{l\leq i\leq r}f_i ∑l≤i≤rfi（即上图黄色图形的下边三格），然后把 f l f_l fl至 f r f_r fr设为0（因为出不去），再把 l l l， r r r标记为围栏（更新答案要用）
4.遇到围栏的结束：设栏杆纵坐标为 y y y，横坐标范围为 l l l到 r r r。需要把 f l − 1 f_{l-1} fl−1减去重复部分（像dp第4种情况一样，即上图黄色图形的下边两格与 f 1 , f 2 f_1,f_2 f1,f2重复，重复部分需要在情况3记录），把 f l f_l fl至 f r f_r fr设为0（因为进不去围栏），再把 l l l， r r r删除围栏标记
综上所述，我们要对 f i f_i fi进行单点修改，区间复制，区间求和，建立标记和查询后一个标记。可以用线段树维护。
（水平有限，表达可能不清，请结合代码）
代码
#include