杭州学军中学信友队趣味网络邀请赛 总结

杭州学军中学信友队趣味网络邀请赛 总结

这次比赛我只考了$148$分，虽然题目很难，但是还是考得不错，可以算是中山市小学生前$5$名吧。这一次我就只做了前两题，后面的我就不讲了。

第一题

题目:

方法：

这道题其实很简单，主要的方法就是找规律，我也是在$4$点半才找到规律的。我们多试几个例子，就可以找出。

对于子任务$1$

我们可以直接用上面的样例来做，直接打表 。

对于子任务$2$

可以在草稿纸上画一下，就可以得出了。

对于子任务$3$~$5$

第一种方法——搜索：

可以用搜索来模拟这个图，应该只能拿到$50$分左右。

第二种方法——数学（正解）：

我们可以发现，当$n$是偶数时：

当$n$是奇数时：

其实他们都是按照这种方式的——就是缠绕法：

发现规律之后，我们直接模拟就可以了。

得分情况：

比赛时$100$分。

第二题

题目：

方法：

这道题目比较简单理解，但是想拿满分不容易。

对于子任务$1$

对于子任务$1$，因为$n=2$，所以我们直接比较答案就行了。

对于子任务$2$

对于子任务$2$，我们可以打一个三重循环来过这道题，时间复杂度为$O(n^3)$。
当然我也得了这么多分，但是我用的是$spfa$，时间复杂度是$O(n^2)$，可能是因为$spfa$的常数太大了，所以没有过子任务$3$。

对于子任务$3$

怎么求两个点的距离呢？
首先我们引入一个概念，$LCA$，意思是最近公共祖先。
我们如何求两个点的$LCA$呢？

求$LCA$：

求$LCA$的暴力方法

直接让两个点分别往上跳就行了。

倍增求$LCA$

我们设$f_{i,j}$表示结点$i$的$2^j$辈祖宗。
那么
$f_{i,0}=fa$
$f_{i,j}=f_{f_{i,j-1},j-1}(j>0)$
注：$fa$表示结点$i$的父亲。
那么我们只用进行二进制拆分就可以算出$LCA$了。

求深度：

我们求完$LCA$之后，就要求深度（后面有用）。
我们设$de{p}_x$表示结点$x$的深度。
则
$de{p}_x=de{p}_{fa}+1$

计算距离：

我们求出了$LCA$，就可以算出距离。
现在我们要求$x$和$y$的最短路径，那么
$dis(x,y)=de{p}_x+de{p}_y-2de{p}_{LCA(x,y)}$
注：$dis(x,y)$表示$x$到$y$的最短距离。

那么现在我们就可以用$O(n^2{\log }_n^2)$的时间算出答案。

对于子任务$4$（满分）

怎么才能的满分呢？
其实很简单。
我们重新看一下题目，题目可以变为：使$max(x,y)\times dis(x,y)$最大。
那么我们其实把$max(x,y)\times dis(x,y)$拆成
$max(x\times dis(x,y),y\times dis(x,y))$。
怎么才能使$dis(x,y)$最大呢？
我们引入“树的直径”。

树的直径：

树的直径的定义

树上最长的一条路。

树的直径的性质

1. 这条路的两个端点一定是叶结点
2. 这条路一定经过根节点

证明：

现在我们要证明任意一个点到树的直径的两个端点（其中一个）的距离最远。
我们假设$u$和$v$是树的直径上的两个端点，$x$为任意一个结点。
如下：

我们用反证法。
假设有一个结点$y$，并且满足$x$与结点$y$的距离还要比$x$与$v$的距离远。
如下：

也就是蓝色线比绿色线要长。
那么我们把公共部分删掉。得：

这时候在把线延长至$u$点。得：

上面这张图显示：$dis(u,y)>dis(u,v)$。
但是我们知道$dis(u,v)$是最长路径，怎么可能还比它大呢？
所以，有矛盾。
因此得出，任意一个点到树的直径的两个端点（其中一个）的距离最远。

那么我们直接求出直径端点到每个点的距离，再比较就行了。

得分情况：

得了$48$分，对了前$2$个点。
改题后$100$分。

第三题

题目：

方法：

对于子任务$1$

我们可以直接用状压$dp$来做，时间复杂度为$O(2^n\times poly(n))$。

对于子任务$2$

可以优化，时间复杂度为$O(n^4)$，可以过。

对于子任务$3$

对上面的方法进行前缀和优化，时间复杂度为$O(n^3)$。

对于子任务$4$

可以先用完全背包预处理，时间复杂度为$O(n^2)$。

题解图片

得分情况：

考试时没有做。
改题之后答案错误，还是$0$分。

第四题

题目：

方法：

对于子任务$1$和$2$

首先有一个暴力算法。记$A(i,j)$为当前还有$i$点行动值，上轮的行动值为 $j$时的胜败情况，可以使用动态规划$O(n^2)$计算出所有的 $h_m$。
$A(i-k,k)\to A(i,j)$

计算$h_m$

首先，如果$m$为奇数，那么人类方只要在第一轮中只付出一点行动值就能获胜，因为接下来双方都只能每轮付出一点行动值。
而如果$m$为偶数，那么人类方第一轮的行动值必须为偶数，否则轮到病毒方时剩余行动值就会变成奇数。由此我们得出，如果$m$为偶数，双方每次的行动值都一定为偶数。那么只要把每两点行动值合并，我们就能得到$h_{2m}=2h_m$。
我们可以得到
$h_m=\{\begin{array}{l}1,m=2n+1\\ 2h_n,m=2n\end{array}$
不难得出$h_m={\max }_{2^k|m}{2}^k$，即$h_m=lowbit(m)$。
注：$lowbit(x)$是$x$的二进制表达式中最低位的$1$所对应的值。

对于子任务$3$

直接用$O(n)$计算出所有$h_m$。

对于子任务$4$或$5$

没有看懂 ，大佬请谅解。

题解图片

得分情况：

比赛时没做。
改题之后$10$分。

第五题

题目：

方法：

国家队层次的题目，没有读懂。
正解：线段树+凸包。
题解图片：