初步了解“树”

初步了解“树”
开发工具与关键技术：Visual Studio 2015 初步了解“树”
作者：李国旭
撰写时间：2020年5月15日
什么是“树”？我们就疑问了。它并不是指路边的那些树木，只是它的的长相像一颗树而已。比如说一个家庭有4名成员：张三有俩个儿子，大儿子张青，次子张虹，大儿子张青的儿子叫张寻，这个家庭父子之间的关系就可以用树型结构表示，如下图表示。

树型结构的数据元素之间呈现分支、分层的特点。树型结构在我们的日常生活中都可以见到的：一个家族、公司、组织等等…都可以用我们的树来表示。还有就是我们的操作系统中的目录树、数据库中信息的组织，下面就是一幅省、市、区的树形图结构图。还有我们电脑上面经常看到的文件目录，根目录里面又有很多子目录和文件，子目录下再包含子目录和文件，这些都是很常见的树关系。

首先，我们先了解一下关于树的概念：树是由n（n>=0）个结点构成的有限集合T，当n=0时T称为空树；否则，在任一非空树T中；（1）有且仅有一个特定的特点，它没有前驱结点，称其为根结点；（2）剩下的结点可分为m（m>=0）个互不相交的子集T1,T2,…,Tm,其中每个子集本身又是一棵树，并称其为根的子树。（注意：树的定义具有递归性，即“树中还有树”。树的递归定义揭示出了树的固有特性）下图来自朱亚兴老师的

而且在我们的计算机中，就只有顺序存储和链式存储，它的表示方法有很多种；我们就来看看树的三种主要的表示方法（a双亲表示法、b孩子表示法、c孩子兄弟表示法）而树呢！是一个（非线性结构）。
（1）双亲（数组）表示法是一种顺序储存结构，这种表示法用一维数组来存储树的有关信息，它会将树中的结点从上到下，从左到右的顺序存放在一个一维数组中，每个数组元素中存放一个节点信息。树的双亲表示法的定义如下：

//树的双亲表示法节点结构定义
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int ElemType;
typedef struct
{
    ElemType data;  //节点位置
    int parent;     //双亲位置
}PTNode;
typedef struct
{
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];
    int r;  //根的位置
    int n;  //节点数目
}PTree;

但是，对于该种表示方法，已知孩子节点寻找双亲非常简单，时间复杂度为O(1)，但是对于已知某双亲节点寻找某孩子节点，就需要遍历整个树结构。
当然可以对上述结构进行改进从而克服该缺点，就是对于每个孩子节点，再附设指示其孩子节点在数组中位置的元素，但是由于各个节点的孩子数不同，就需要根据节点度的最大值来决定需要附设几个指示元素，当然会造成空间的浪费，应了那句话“提高空间效率便会增加时间复杂度，提高时间效率便会增加空间复杂度。”这句话，对于研究算法就有着重要的一个因素，如何在解决某个问题的时候，实现效率和复杂度的最优化，找到最好的平衡点。
（2）孩子表示法：类比于上面的双亲表示法，该方法无非就是在每个节点附设存放孩子位置的指示。但是它就存在一个问题，也就是在上面也曾经提到过，就是每个节点的孩子的数目是不一定相同的，甚至差别较大，此时如果单纯按照节点度的最大值来声明足够的空间，则必然造成很大的浪费，因为有很多的指针域是空的。针对以上这个问题，此时我们可以想到另一种表示方法，就是在每个节点中存储节点的度，按照节点的度来申请空间，但是还是不行啊，这种结构不好统一处理，而且初始化和维护起来难度大，用这个树的孩子链表示法。（下图来自朱亚兴老师），如图所示：

#define MAX_TREE_SIZE
typedef char ElemType
//孩子节点
typedef struct CTNode
{int child;            //孩子节点下标
 struct CTNode *next;  //指向下一个孩子节点的指针
}*childPtr;
//表头节点
typedef struct
{   ElemType data;       //存放在树中的节点的数据
    int parent;          //存放双亲的下标
    childPtr firstChild; //指向第一个孩子的指针
}CTBox;
//树结构
typedef struct
{
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];  //节点数组
    int r;                       //根的位置
    int t;                       //节点数目
}CTree;

（3）孩子兄弟表示法：上面两种方法分别从孩子的角度来表示树的存储结构，可以很快的找到结点的双亲或孩子，但是呢找结点的兄弟就会比较困难。任意一棵树的结点，如果他的第一个孩子和它的右兄弟如果存在，必定是唯一的，因此我们就可以设置两个指针，分别是指向孩子和此节点的兄弟data是数据域，firstchild是储存该节点第一个孩子结点的存储地址，rightsibling是储存该节点的右兄弟结点的存储地址。如下表格所示：
data firstchild rightsibling
这种孩子兄弟表示法方便了查找结点的孩子和兄弟，缺点是破坏了树的层次

#define MAX_TREE_SIZE
typedef char ElemType
//定义节点
typedef struct CTNode
{   ElemType data;       //存放在树中的节点的数据
    CTNode *firstChild;  //存放子节点
    CTNode *nextSibling; //存放其子节点的兄弟节点
}CTNode,*CTree;