bzoj1560:[JSOI2009]火星藏宝图(斜率优化)

题目描述

在火星游玩多日,jyy偶然地发现了一张藏宝图。根据藏宝图上说法,宝藏被埋藏在一个巨大的湖里的N个岛上(2<=N<=200,000)。为了方便描述,地图把整个湖划分成M行M列(1<=M<=1000),共M*M个小块,并把所有岛按照1...N编了号。第i个岛位于第Xi行Yi列(设其坐标为(Xi,Yi))的格子(Xi,Yi均为整数,并且满足1<=Xi,Yi<=M),岛上藏有价值财富Vi(1<=Vi<=10,000)。湖的左上角(1,1)和右下角(M,M)都有岛,有桥将它们与陆地相连。

jyy没费多大劲,就找到了那个湖,同时哭笑不得地发现,所谓的财富,是各个岛上出产的珍稀水果。jyy 在左上角的岛的岸边找到了一条小木船,他可以划船到其他岛上去。划船是要消耗体力的,具体地说,等于两岛 Euclidean 距离的平方(即,从(X1,Y1)划船到(X2,Y2)所耗费的体力为(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2个单位)。jyy可以吃水果来恢复体力,吃掉1单位价值的水果能恢复1单位体力。

现在jyy打算从(1,1)旅行到(M,M),沿途收集珍稀水果。按藏宝图上的提示,jyy 离开一个岛后,就只能去该岛右下方的区域(正下和正右方向也是允许的),否则会遭遇水怪。jyy可以在旅行途中饿一段时间,即体力为负。但抵达终点后,只要身边有足够多的水果,他就会通过吃水果将体力恢复到旅行前的水平。

jyy想知道,经过一次旅行,他最多能得到多少收益,即jyy收集到的水果总价值-jyy在旅途中花的总体力。(如果吃完所有水果他还饿着,收益就是负数,具体的例子见样例)

输入输出格式

输入格式:

 

第1行:两个整数N,M。第2..N+1行:每行3个整数,第i+1行的3个整数分别为Xi,Yi,Vi。每个岛的坐标不同。保证存在坐标(1,1)和(M,M)的岛。

 

输出格式:

 

第1行:输出一个整数,表示最大收益。

 

输入输出样例

输入样例#1:  复制
4  10 
1  1  20 
10 10 10 
3  5  60 
5  3  30
输出样例#1:  复制
-4

说明

20+60+10-((3-1)^2+(5-1)^2)-((10-3)^2+(10-5)^2)=-4

对20%的数据M<=200,且N<=2,000

对50%的数据M<=200,且N<=20,000

对100%的数据M<=1000,且N<=200,000

题解

  话说斜率优化的题解好玄学orz->这里

  考虑$dp_i$为走到$i$点的最大收益,则转移方程为$dp_i=max\{dp_j-(x_i-x_j)^2-(y_i-y_j)^2\}+w_i$

  如果直接转移的话是$O(n^2)$的,然而这里有一个特性,同一列中能转移的点肯定是行数大的更优

  为啥咧?从行数小的点先走到行数大的再走到该点在竖直方向上花费为$a^2+b^2$,直接走到该点在竖直方向上的花费为$(a+b)^2$,他们水平方向上的花费一样,那么肯定先走到行数大的点的花费会更小

  然后据说这样就能用$O(nm)$卡过去了

  然而这和斜率优化有什么关系么?(没有)

  设$dp_{i,j}$表示走到$(i,j)$的最大收益,我们可以枚举从哪一列转移到这里。因为只要确定了列就可以确定行,我们设$pos_i$表示第$i$列能转移点的最大行数,$x$为当前点行数,省略$dp$数组的第一维,设$dis_j=(x-pos_j)^2$,则有$$dp_i=max\{dp_j-dis_j-(i-j)^2+w_{x,i}\}$$

  设$j

  $$dp_i-dp_k-dis_j+dis_k-j^2+k^2<2*i*(k-j)$$

  $$\frac{dp_i-dp_k-dis_j+dis_k-j^2+k^2}{(k-j)*2}

  然后就可以斜率优化了……虽然基本都是抄的但还是累死我了……

  顺便注意如果$j=k$的时候斜率返回$inf$或$-inf$

 1 //minamoto
 2 #include
 3 #include
 4 #include
 5 using namespace std;
 6 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 7 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
 8 inline int read(){
 9     #define num ch-'0'
10     char ch;bool flag=0;int res;
11     while(!isdigit(ch=getc()))
12     (ch=='-')&&(flag=true);
13     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
14     (flag)&&(res=-res);
15     #undef num
16     return res;
17 }
18 const int N=1005,inf=0x3f3f3f3f;
19 int n,m,h,t,x,y,q[N];
20 int dp[N][N],w[N][N],pos[N],dis[N];
21 inline double slope(int x,int y){
22     return x==y?-inf:1.0*(dp[pos[x]][x]-dp[pos[y]][y]-dis[x]+dis[y]-x*x+y*y)/2/(y-x);
23 }
24 int main(){
25     //freopen("testdata.in","r",stdin);
26     n=read(),m=read();
27     for(int i=1;i<=n;++i) x=read(),y=read(),w[x][y]=read();
28     memset(dp,0xef,sizeof(dp));
29     dp[1][1]=w[1][1],pos[1]=1,w[1][1]=0;
30     for(int i=1;i<=m;++i){
31         for(int j=1;j<=m;++j) dis[j]=(pos[j]!=0)*(pos[j]-i)*(pos[j]-i);
32         h=1,t=0;
33         for(int j=1;j<=m;++j){
34             if(pos[j]){
35                 while(h1],q[t])>slope(q[t],j)) --t;
36                 q[++t]=j;
37             }
38             if(w[i][j]){
39                 while(h1])h;
40                 dp[i][j]=dp[pos[q[h]]][q[h]]-dis[q[h]]-(q[h]-j)*(q[h]-j)+w[i][j];
41                 pos[j]=i,dis[j]=0;
42                 while(h1])>slope(q[t],j)) --t;
43                 q[++t]=j;
44             }
45         }
46     }
47     printf("%d\n",dp[m][m]);
48     return 0;
49 }

 

转载于:https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/9548191.html

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