Learning：数论（三） 欧拉函数

定义：

对正整数，欧拉函数是小于等于的数中与互质的数的数目，又称函数。例如。

引理：

1. 如果为某个素数，则。
2. 如果为某个素数的幂次。
3. 函数为积性函数。
4. 设为正整数的素数幂乘积表达式，则：。

证明都不难，自己推一推吧。

由引理1,2,3，我们不难可以想到怎么对欧拉函数进行线性筛。代码如下：

int n,m,cnt,ans,x,y,phi[N],prm[N],vis[N];
void init(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i

给几道题：

【POJ3090】Visible Lattice Points

【bzoj4804】欧拉心算

欧拉定理：

若与互质，则。

在证明这个定理之前，我们要先证明另外两个东西：

1.若，则。

证明：

设

不难发现当时，

2.对于任意的，不存在两个数，使得。这个很简单，留给大家自己去想一想吧。

 

接下来我们来证明一下欧拉定理。

证明：

设集合，。

又

不难得到

又

扩展欧拉定理

当时，

令，

由欧拉定理可得：

当时显然。

当时，

emmm......

去orz一下yww吧。

来两道题：

【bzoj3884】上帝与集合的正确用法

【bzoj4869】[Shoi2017]相逢是问候

一个重要的性质：

证明：

设为正整数的素数幂乘积表达式。

不难想到，

这个性质在利用杜教筛求函数的前缀和时非常重要。

差不多就这样啦。

再来道题：

【bzoj3518】点组计数

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